En un triángulo rectángulo de 30-60 grados, el lado opuesto al ángulo de 30 grados es la mitad de la longitud de la hipotenusa. ¿Por qué?

Question

En un triángulo rectángulo de 30-60, el lado opuesto al ángulo de 30 grados es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Una afirmación de la sección de trigonometría de Pre-cálculo en pocas palabras de Simmons. Por favor, explique.

Answer 1

Aquí tienes un triángulo equilátero amigable:

Los lados son todos de la misma longitud, digamos $a$. Los ángulos también son todos iguales, y como los ángulos deben sumar $180^\circ$, concluimos que los tres ángulos en el triángulo equilátero son iguales a $180^\circ/3=60^\circ.

Ahora hacemos algo astuto. Dibujamos una línea desde el vértice superior del triángulo hasta el punto medio de la línea inferior.

Esta nueva línea corta nuestro triángulo equilátero por la mitad. ¿Cuáles son los ángulos en una mitad?

• El ángulo en la parte inferior es $90^\circ.
• Uno de los ángulos es igual a uno de los ángulos en el triángulo equilátero original, por lo que es $60^\circ.
• Así que el tercer ángulo debe ser $180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.

Ahora la hipotenusa de este nuevo triángulo es $a$, la longitud del lado del triángulo equilátero. Y la longitud del lado más corto es $a/2$, ya que la línea que dibujamos cortó la línea inferior por la mitad.

Answer 2

Esta declaración se sigue del teorema:

Si $BC$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo $\triangle ABC$, se sigue que la mediana $AM$ (que corresponde a la hipotenusa) es $AM = \dfrac{BC}{2}$.

Intenta aplicar algo de geometría básica a los triángulos que se crean.

Answer 3

Dado el triángulo de 30, 60, 90 grados, rota el vértice de 90 grados alrededor de la hipotenusa, formando un rectángulo cuyos lados laterales y diagonales forman dos triángulos congruentes, ambos de los cuales son equiláteros. Por lo tanto, un lado lateral debe ser igual a 1/2 de la diagonal. Pero la diagonal es la hipotenusa. Q.E.D. Edwin Gray