Resolver una desigualdad lineal sin elegir los puntos a comprobar

Question

Considera una desigualdad como ésta:

(2x-1)/(x+5) > 0

Si empezamos multiplicando ambos lados por (x+5), obtenemos 2x-1>0, que tiene la solución x > 1/2. Sin embargo, la solución también incluye x < -5. La única forma que conozco de hacerlo es encontrar el punto en el que el denominador es igual a cero (obteniendo el punto x=-5), y luego elegir un punto a la izquierda y a la derecha de ese punto y determinar si cada uno de esos puntos satisface la desigualdad. Esto parece terriblemente no "algebraico" (¿a falta de un término real?) - es decir, parece algo que te podrían enseñar en el instituto, pero realmente hay una forma más sólida de hacerlo que sólo requiere técnicas más avanzadas. ¿Existe una forma "mejor" de hacer este tipo de problemas?

Answer 1

Como se ha sugerido en un comentario (pero no es necesario), multiplica toda la desigualdad por $(x+5)^2$ y obtener $(2x-1)(x+5)>0$ . En el lado izquierdo tenemos ahora el producto de dos números que es positivo si y sólo si ambos factores tienen el mismo signo. Esto nos da dos casos: (1) $2x-1>0$ y $x+5>0$ , (2) $2x-1<0$ y $x+5<0$ . En el caso (1) obtenemos $x>1/2$ y $x>-5$ lo que equivale a $x>1/2$ . En el caso (2) obtenemos $x<1/2$ y $x<-5$ lo que equivale a $x<-5$ . Así que la respuesta es: $(2x-1)/(x+5)>0$ si $x<-5$ o $x>1/2$ .