Encuentra $f(x)$ tal que produzca una curva hiperbólica que pase por $(0,t)$ y $(t,0)$

Question

Me acerqué a esto tomando $y=\frac a{x+b}+c$ tratando de resolver las siguientes ecuaciones simultáneas: $$\frac ab+c=t$$ $$\frac a{t+b}+c=0$$

y solo pude concluir que $b=-c$ y no pude ver ninguna forma de proceder. Agradecería una pista para continuar con este método o cualquier otro método por completo.

Sé que la solución es:

$f(x)=\frac{t(t-x)}{x+t}$

Answer 1

Hay infinitas familias de curvas hiperbólicas que pueden pasar por cualquier par de puntos dados. (en general, se necesitan cinco puntos para determinar de manera única una curva cuadrática).

Tu familia propuesta de hipérbola $\displaystyle y=\frac a{x+b}+c~$ tiene las dos asíntotas que son verticales y horizontales. En general, las dos asíntotas pueden tener cualquier pendiente.

Por supuesto, tu familia de hipérbolas ya es más que suficiente.

El resultado $b = -c$ es correcto, lo que significa que en realidad tienes una familia de dos parámetros $$ y=\frac{a}{x-c}+c = \frac{a + cx - c^2}{ x - c}$$ donde cualquier número real $a$ y $c$ generan una hipérbola con la propiedad deseada (pasando por esos dos puntos).

La "solución conocida" citada es simplemente el caso especial cuando se toma $c = -t$ y $a = 2t^2$.

Answer 2

Considera la función $f(x)=\frac{1}{x}$. Esta función es simétrica respecto a la línea $x=y$. Vamos a usar esta simetría.

Podemos trasladar la gráfica de cualquier función $f$ hacia abajo definiendo $g(x)=f(x)-a$, para algún $a>0$. Luego, podemos trasladar la gráfica de esta función hacia la izquierda definiendo $$h(x)=g(x+a)= f(x+a)-a=\frac{1}{x+a}-a.$$ Después de hacer esto, la función $h$ todavía conserva la simetría de $f$. Dado $t\in\mathbb R$, solo necesitamos encontrar $a>0$ tal que $$ \frac{1}{a}-a=t \Rightarrow a=\frac{\sqrt{t^2+4}-t}{2}. $$