¿Por qué son todos distintos de cero autovalores de la inclinación simétrica matrices imaginario puro?

Question

Suponga que $A$ $n\times n$ skew-simétrica real de la matriz, es decir, $$A^T=-A.$$

Desde $\det(A-\lambda I)=\det(A^T-\lambda I)$, $A$ y $A^T$ tienen los mismos autovalores. Por otro lado, $A^T$ $-A$ también tienen los mismos autovalores. Por lo tanto si $\lambda$ es un autovalor de a $A$, por lo que es $-\lambda$. Si $n$ es impar, $\lambda = 0 $ es un autovalor.

Una curiosa búsqueda en Google devuelve que el cero autovalores de a $A$ son todos imaginarios puros y por lo tanto son de la forma $iλ_1, −iλ_1, iλ_2, −iλ_2,$ ... donde cada una de las $λ_k$ son reales.

Aquí está mi pregunta:

Cómo puedo probar el hecho de que "el distinto de cero autovalores de a $A$ son todos imaginarios puros"?

Answer 1

Considere la posibilidad de $A$ como una matriz de más de $\mathbb{C}$. Entonces tenemos que para todos los $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n$, $$\langle A\mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x},A^*\mathbf{y}\rangle,$$ donde $\langle-,-\rangle$ es el estándar complejo interior del producto, y $A^*$ es el adjoint (que en relación a la norma interna compleja producto está dada por la conjugada transpuesta de a $A$). Desde $A$ es una verdadera matriz de los adjuntos es igual a la transpuesta, por lo que para cada $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n$, usted tiene $$\langle A\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \langle \mathbf{x},A^T\mathbf{y}\rangle = \langle \mathbf{x},-A\mathbf{y}\rangle = -\langle \mathbf{x},A\mathbf{y}\rangle.$$

Ahora supongamos que $\mathbf{x}$ es un autovector con autovalor $\lambda$. Establecimiento $\mathbf{y}=\mathbf{x}$, tenemos $$\langle A\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle = \langle \lambda\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle = \lambda \lVert\mathbf{x}\rVert^2.$$ Por otro lado, $$-\langle \mathbf{x},A\mathbf{x}\rangle = -\langle\mathbf{x},\lambda\mathbf{x}\rangle = -\overline{\lambda}\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle = -\overline{\lambda}\lVert\mathbf{x}\rVert^2.$$ Estos dos son iguales, y desde $\mathbf{x}$ es un autovector, a continuación,$\lVert\mathbf{x}\rVert\neq 0$. Por lo tanto, tenemos que $\lambda=-\overline{\lambda}$, y, por tanto, $\lambda$ es $0$ o un número imaginario puro.