En Wolfram|Alpha Estaba aburrido y pedí $\frac{\infty}{\infty}$ y el resultado fue (indeterminate) . Otros dos que dan el mismo resultado son $\infty ^ 0$ y $\infty - \infty$ .
Por lo que sé, dado $x$ ser cualquier número, excluyendo $0$ , $\frac{x}{x} = 1$ es cierto.
Entonces, ¿qué es exactamente $\infty$ ?
Para que quede claro: El infinito es no un número .
Además, es probable que no exista una caracterización "exacta" (acordada) del infinito.
En cierto sentido, casualmente: $$\infty = \{\text{that which is NOT finite}\}$$
Definición : El infinito se refiere a algo sin límite, y es un concepto relevante en varios campos, predominantemente las matemáticas y la física. La palabra inglesa infinity deriva del latín infinitas que puede traducirse como " no hay límites ", que a su vez deriva de la palabra griega apeiros , que significa " interminable ".
"En matemáticas, el "infinito" se trata a menudo como si fuera un número (es decir, cuenta o mide cosas: "un número infinito de términos") pero no es el mismo tipo de número que los números reales. En los sistemas numéricos que incorporan infinitesimales, el recíproco de un infinitesimal es un número infinito, es decir, un número mayor que cualquier número real. Georg Cantor formalizó muchas ideas relacionadas con el infinito y los conjuntos infinitos a finales del siglo XIX y principios del XX. En la teoría que desarrolló, hay conjuntos infinitos de diferentes tamaños (llamados cardinalidades). Por ejemplo, el conjunto de los números enteros es contablemente infinito, mientras que el conjunto de los números reales es incontablemente infinito".
Para una discusión más amplia sobre el infinito, y
EDITAR: Puede que quiera estar seguro de que no es el único que se enfrenta al concepto de infinito: Leopold Kronecker se mostraba escéptico ante la noción de infinito y la forma en que sus compañeros matemáticos la utilizaban en las décadas de 1870 y 1880. Este escepticismo se desarrolló en la filosofía de las matemáticas llamada finitismo una forma extrema de las escuelas filosóficas y matemáticas de constructivismo y intuicionismo .
@MichaelGreinecker Me pregunto qué pasará cuando el OP descubra lo de los números cardinales...
Personalmente, el infinito me resultaba un poco confuso, hasta que tuve un profesor que siempre lo asociaba con la frase "arbitrariamente grande". Creo que "arbitrariamente grande" (o "sin límites") es una buena manera de conceptualizar el infinito. ¿Qué significa que haya un número infinito de primos? Significa que se pueden encontrar números primos arbitrariamente grandes. ¿Qué significa $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$$ ¿significa? Significa que como $n$ se hace arbitrariamente grande, $\frac{1}{n}$ se acerca arbitrariamente a 0.
Matemáticamente, esto se puede expresar con la siguiente afirmación: Un conjunto $A$ es infinito si y sólo si, dado cualquier subconjunto finito $B\subseteq A$ siempre hay un elemento $x\in A$ tal que $x\not\in B$ . En otras palabras, no importa lo grande que sea el subconjunto finito que elijas, siempre hay uno mayor (en este caso $B\cup\{x\}$ ).
Sin embargo, es importante tener en cuenta que " $\infty$ " sí mismo no significa "arbitrariamente grande" más que " $0$ "significa "arbitrariamente pequeño". En cambio, algo que crece arbitrariamente puede decirse que acercarse a infinito.
Además, tu párrafo final hablando del adjetivo "infinito" aplicado a los conjuntos realmente no tiene nada que ver con el $\infty$ que aparece en relación con los límites.
@Hurkyl no olvidemos hiperreales y surreales que tratan con números arbitrariamente pequeños y grandes...
Los números reales positivos hacen una bonita abstracción de la noción de longitud.
El infinito en la línea real representa una noción abstracta de "ser más largo que cualquier otra longitud". Se puede pensar en él formalmente como si fuera mayor que cualquier longitud finita: algo tiene una longitud "infinita" si es más largo que un objeto de longitud $1$ un objeto de longitud $2$ y así sucesivamente.
El $\infty$ es sólo un símbolo formal, y dice "Si has llegado a este punto - has ido demasiado lejos". No es un número. Pero podemos considerar el caso en el que dividimos dos infinitos, por ejemplo
$$\lim_{n\to\infty}\frac{k\cdot n}{n+1} = \frac\infty\infty$$
Pero este límite se puede calcular, de hecho es $k$ .
Puede contradecir mi afirmación anterior, ya que ambos son números "infinitos". Sin embargo en este límite calculamos el comportamiento de los cocientes al tomar "longitudes" cada vez mayores. En realidad no dividimos dos infinitos. Así que cuando escribimos $\frac\infty\infty$ queremos decir que es un límite del cociente de dos secuencias que crecen cada vez más, pero no podemos determinar el resultado exacto porque no sabemos cuáles son estas secuencias, por ejemplo en el ejemplo anterior podemos poner $k=1$ para tener el límite es $1$ y otro par de secuencias donde $k=2$ y el límite es $2$ . Claramente $1\neq 2$ . Así que no podemos determinar a priori el resultado.
El caso es similar para $\infty-\infty,\infty^0$ y $\infty\cdot 0$ .
Me pregunto si los límites de $\frac{2x}x, \frac{x+1}x,$ y $\frac{x}{2x}$ , como $x\to\infty$ ¿podría hacer el punto de manera más efectiva aquí?
@Cole: Intentas señalar una circularidad pero en realidad no estás leyendo mi respuesta. El infinito es una noción formal para "más largo que cualquier longitud finita" (si estamos de acuerdo en que los números reales positivos denotan longitud, de todos modos). La definición de límite no utiliza esta noción en absoluto. Tiene una definición muy concreta y matemática interna a los números reales. Cuando pensamos en objetos infinitos, solemos asociarlos con funciones o secuencias que crecen cada vez más y acaban teniendo valores arbitrariamente grandes.
Además de las respuestas que has recibido, hay muchos libros sobre el tema que puedes considerar. He aquí algunos ejemplos:
Saludos -A
En el contexto que estabas usando, estoy bastante seguro de que Mathematica considera $\infty$ para ser el "número real extendido" $+\infty$ . La aritmética de los números reales extendidos es la extensión continua de las operaciones sobre los números reales ordinarios. Las formas que has escrito, $\infty / \infty$ , $\infty - \infty$ y $\infty^0$ son todas las discontinuidades de las respectivas operaciones, por lo que se dejan sin definir.
Obtuvo el resultado "Indeterminado" en parte porque Mathematica tiene la necesidad de devolver un valor de todos modos, y en parte porque tales expresiones surgen a menudo en el contexto de las formas límite: cuando se interpretan como formas límite en lugar de como aritmética, son todas "formas indeterminadas", por lo que la palabra "indeterminado" es una elección razonable para el valor de retorno.
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Es lo que tú quieras que sea, siempre que tenga sentido matemático. Podemos hablar de $+\infty$ y $-\infty$ en el línea real ampliada y sobre $\infty$ en el plano comlex extendido. Podemos hablar de cardinalidades de conjuntos, o también de ordinales. El concepto de "infinito", que significa "no finito", tiene muy diferentes y variados significados y usos en matemáticas.
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Para una pequeña serie de la bbc sobre el infinito, vea este
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Como ya se ha señalado, $\infty$ no es un número. Los infinitos son de diferentes órdenes, lo que provoca la ambigüedad de las operaciones. Considere $x$ y $x^2$ como $x\to \infty$ . Ambos $x,x^2 \to \infty$ pero $x/x^2 = 1/x \to 0$ y $x^2/x = x \to \infty$ . Así que $\frac{\infty}{\infty}$ puede ser $0$ o $\infty$ (o cualquier número de su elección, por ejemplo $\frac{\pi x}{x} \to \pi$ mientras sigue siendo de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ . Así que las operaciones sobre $\infty$ son indefinidos a menos que el orden sea explícito.
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Si $\frac{x}{x}=1$ para todos los números reales $x$ ¿Qué pasa si eliges $x=0$ ?
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Muy relevante
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I no es sqrt(-1), es sólo "lo más cercano"
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@Thomas a menos que algo esté mal en las matemáticas, el 0 es un real número
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@PPC ¿qué? (15 caracteres)
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@ColeJohnson la cuestión es que esto no es cierto para $\frac 00$ . La idea es que $\frac 00=x\implies 0x=0$ que se satisface para cualquier $x$ no sólo $1$ . Sacar información de $\frac 00$ depende del contexto, y es esencialmente el punto del cálculo diferencial. Y supongo que PPC quería decir que la definición debería ser realmente $i^2=-1$ ya que el uso de la $\sqrt{}$ es un abuso de la notación (cuando ninguna de las raíces es positiva, ¿cuál eliges?)
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@ColeJohnson Exactamente, así que $\frac{x}{x}=1$ no es cierto para todos los números reales $x$ .
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Sé que hay infinitos números entre 1 y 2. También hay infinitos números entre el 1 y el 10. ¿Hay más números entre 1 y 10 que entre 1 y 2?
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Normalmente tiendo a decir: $\frac{\infty}{\infty}$ produce un valor (o valores) que depende de la forma en que la expresión $\frac{\infty}{\infty}$ se derivó. Tomando por ejemplo el cálculo infinitissimal, a menudo se puede llegar a un punto en el que $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac 00$ se deriva, sin embargo, dependiendo de la ecuación analizada ambas expresiones pueden dar un valor específico; este valor difiere para diferentes ecuaciones por lo que se podría concluir que $\frac{\infty}{\infty}$ puede ser cualquier valor, dependiendo de cómo se haya obtenido, y a veces no se puede determinar.
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@krikara Es trivial construir una biyección entre los dos subconjuntos de los reales ( $(1,2)$ y $(1,10)$ ) por lo que tienen el mismo orden.
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Dada la pregunta del título, me alegro de que por fin se haya encontrado una respuesta aceptada.
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Elige cualquier número. $\infty$ ¡es más grande!
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No es más que un símbolo