demostrar que este número contiene dos cifras iguales

Question

Eliminamos el primer dígito del número $7^{1996}$ y luego lo sumamos al número restante, repetimos esto hasta obtener un número formado por $10$ dígitos, demostrar que, este número contiene dos dígitos iguales?

¿alguna ayuda chicos por favor?

Answer 1

La insinuación de Robert es magnífica.

Solución completa: Si $k$ es el dígito más a la izquierda de $n$ entonces el número resultante de quitar el dígito más a la izquierda de $n$ es congruente con $n-k\bmod 9$ . Por lo tanto, si añadimos $k$ a este número obtenemos un número congruente con $n\bmod 9$ .

Conclusión: La congruencia $\bmod 9$ es invariable bajo la operación de eliminar el dígito más a la izquierda de $n$ y añadiendo ese número a $n$ por lo que el número que alcanzaremos no será un múltiplo de $9$ (ya que no era un múltiplo de $9$ inicialmente). El número tiene $10$ dígitos, si no tuviera ningún dígito repetido la suma de los dígitos sería $0+1+2+\dots+9=45$ y el número sería un múltiplo de $9$ . Así que hay un dígito repetido.