Dejemos que $G$ ser un $k$ por $n$ matriz binaria con vectores de fila $\lbrace \vec{x}_j {\rbrace} _{j=1}^k$ . Podemos interpretar $G$ como una matriz generadora de un $[n,k]$ código $\cal{C}$ cuyas palabras clave consisten en todas las combinaciones lineales de estos vectores (con aritmética definida para GF(2)).
Dejemos que $H$ ser un $(n-k)$ por $n$ matriz binaria con vectores de fila $\lbrace \vec{y}_j {\rbrace} _{j=1}^{n-k}$ donde $\vec{x}_a \cdot \vec{y}_b = 0~\forall a, b$ . Podemos interpretar $H$ como matriz de comprobación de paridad para el código $\cal{C}$ . Alternativamente, podemos tratar $H$ como generador del doble $[n,n-k]$ código $\cal{C}^\perp$ .
Si exigimos tanto que $n$ sea impar y que todas las palabras clave de $\cal{C}$ (no sólo las filas de $G$ ) tienen un peso Hamming $w_j \equiv 0$ (mod 8), ¿qué distancias mínimas son posibles para $\cal{C}^\perp$ ? ¿Qué familias de códigos satisfacen estas propiedades?
Hasta ahora, he identificado los siguientes ejemplos:
distancia 2: $\cal{C}$ = [8,1,8] código de repetición, $\cal{C}^\perp$ = [8,7,2]
distancia 3: $\cal{C}$ = [15,4,8] Código Reed-Muller, $\cal{C}^\perp$ = [15,11,3] Código Hamming
Mi ejemplo anterior (basado en el código Golay) para la distancia 4 era incorrecto. Sólo era la distancia 3, y de hecho he fracasado repetidamente en encontrar un buen candidato con una distancia mayor que 3.
Aquí hay un enlace a la La identidad de MacWilliams (que tengo problemas para poner en un comentario).
