Suma finita de series con factoriales y exponenciales

Question

Me gustaría calcular la siguiente suma de series: $$F(k,a)=\sum_{m=-1}^{k}(-1)^m\frac{k!}{(k-m)!}a^{k-m},$$ donde $a$ es una constante conocida, $k$ y $m$ son números enteros. $x!$ indica el valor factorial de $x$ .

WolframAlpha me dio un resultado: $$F(k,a)=(-1)^ke^{-a}\Gamma(k+1,-a)-\frac{a^{k+1}}{k+1},$$ considerando que k es un número entero: $$\Gamma(k+1,-a)=k!e^a\cdot e_k(-a),$$ entonces $$F(k,a)=(-1)^kk!e_k(-a)-\frac{a^{k+1}}{k+1},$$ aquí $e_k(x)$ es la función de suma exponencial: $e_k(x)=\sum_{n=0}^{k}\frac{x^n}{n!}.$

He comprobado que este resultado es correcto para $k=0$ . Al suponer que también es válido para $k=N$ cómo demostrar la corrección para $k=N+1$ utilizando el método de la prueba constructiva?

Muchas gracias.

Answer 1

Cambiar el índice de suma a $\,n=k-m\,$ da lo siguiente, equivalente al formulario publicado:

$$ \begin{align} F(k,a) &= \sum_{n=0}^{k+1}\,(-1)^{k-n}\,\frac{k!}{n!}\,a^{n} \\[5px] &= (-1)^k\, k!\, \sum_{n=0}^{k+1}\,\frac{(-1)^{-n}a^{n}}{n!} \\[5px] &= (-1)^k\, k!\, \sum_{n=0}^{k+1}\, \frac{(-a)^{n}}{n!} \\[5px] &= (-1)^k \,k!\, e_{k+1}(-a) \end{align} $$