Ecuación diferencial con el teorema fundamental del cálculo

Question

Tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden $$y'=xy+2x$$ y una función continua $f$ cumple con lo siguiente $$f(x)=x^2+\int_{0}^{x}t f(t) dt$$ , Demuestre que $f$ es la única solución de la primera ecuación diferencial lineal $$y'=xy+2x$$ con la condición inicial $y(0)=0$

He intentado resolver la ecuación diferencial y la solución es $$y=Ce^{x^2/2}-2$$ y con la condición inicial, obtenemos $C=2$ , y estaba tratando de diferenciar $f(x)$ utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, pero no tengo ni idea de cómo diferenciar $\int_{0}^{x}t f(t) dt$ . ¿O es esta la forma correcta de resolver esta cuestión? ¿Alguien sabe cómo hacer esto? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}g(t)dt$ = $\frac{d}{dx}(G(x)-G(0))$ , donde $G(x)$ es la antiderivada de $g(x)$ . Esto es una consecuencia directa del Teorema Fundamental del Cálculo. Sin embargo, $\frac{d}{dx}(G(x)-G(0)) = g(x)$ . Así:

$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}tf(t)dt = xf(x)$$

Answer 2

Si se integran ambos lados de la ecuación, se obtiene

$$ \int_0^x y'(t) dt = \int_0^{x} t y(t) dt +\int_0^x 2t dt \Leftrightarrow y(x) = \underbrace{y(0)}_{=0}+\int_0^x t y(t) dt + x^2 $$

Así, cualquier solución de la ecuación es de la forma propuesta. Por otro lado, se trata de una ecuación lineal, para la que se tiene existencia y unicidad de solución (e incluso una solución de forma cerrada).