Cómo determinar si una transformación lineal es 1-1, sobre de $P_2$ à $\mathbb R^3$

Question

Me ha costado mucho elegir un título para este post, así que pido disculpas si no abarca todo lo que intento preguntar aquí.

He estado estudiando las transformaciones lineales de los espacios vectoriales para mi clase de Álgebra Lineal y realmente me cuesta entenderlas. He pedido a mi profesor y a mis tutores que me ayuden a explicarlas de una manera que pueda entender, pero sigo sin entenderlas en muchos casos. A menudo la gente en este sitio hace un gran trabajo explicando estas cosas de una manera que puedo entender, así que estoy trayendo la pregunta aquí con la esperanza de que alguien puede ayudarme a resolverlo.

La siguiente pregunta es de mi libro de texto, y es una que me ha costado entender más que la mayoría. La pregunta es:

"Determina si esta Transformación Lineal es 1-1, en:"

$T:\mathscr P_2 \mapsto \mathbb R^3$ definido por:

$T(a + bx +cx^2)$ = $ \left[ \begin{matrix} 2a - b \\ a + b - 3c \\ c - a \\ \end{matrix} \right] $

Todas las personas a las que pregunto siempre empiezan por encontrar el $ker(T)$ Así que supongo que empezaré por ahí también:

$\mathbf 1.)$

$ker(T) = T(a + bx + cx^2)$ = $ \left[ \begin{matrix} 2a - b \\ a + b - 3c \\ c - a \\ \end{matrix} \right] $ = $\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix} \right]$ $\implies$

$ \mathbf 2.)$

$2a-b = 0 \implies b=2a$

$a+b-3c = 0 \implies$ ...? No estoy del todo seguro

$c-a=0 \implies a=c$

$\implies$

$ \mathbf 3.)$

$\{a+bx+cx^2 : a=c, b=2c\}$ $\implies$ $\{ax + bx + cx^2: cx^2\}$

$= c(1 + x +x^2)$

$\implies ker(T) \neq \{0\}$

$\implies$ T no es 1-1

$\mathbf4.)$ En cuanto a onto, la siguiente explicación se dio en Chegg, pero no tiene ningún sentido para mí:

"Como las dimensiones del espacio de dominio y del espacio de codominio son las mismas, T no es onto".

El libro da la respuesta como "ni 1-1 ni onto". Puedo entender por qué no es 1-1, pero no entiendo por qué tampoco es onto. Intenté darle sentido a esto usando el teorema de la nulidad, aunque no tengo confianza en mi trabajo:

$\mathbf 5.)$

$range(T)$ = $\begin{bmatrix} 2a - b \\ a + b - 3c \\ c - a \\ \end{bmatrix}$ = a $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\-1 \\ \end{bmatrix}$ + b $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\0 \\ \end{bmatrix}$ + c $\begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\1 \\ \end{bmatrix}$

\= span { $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\-1 \\ \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\0 \\ \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\1 \\ \end{bmatrix}$ }

Pero estos 3 vectores no son linealmente independientes (el primer vector se puede escribir como un combo lineal de los 2 segundos vectores) y por lo tanto no son una base para $range(T)$ .

Si no me equivoco,

$rank(T) = dim(range(T))$ y

$nullity(T) = dim(ker(T))$ y

$rank(T) + nullity(T) = dim(V)$

Desde el $dim(\mathscr P_2) = 3$ pero el $rank(T) = 2$ ¿Por eso la transformación no está en marcha?

Cuanto más escribo, más me confundo, así que aquí están mis principales preguntas:

$\mathbf a.)$ ¿Cómo se ha calculado el núcleo en los pasos 2 y 3? Puedo ver la respuesta, pero por más que me la expliquen sigo sin entenderla. Espero que alguien pueda aclararlo de forma que lo entienda. Si parece trivial pido disculpas, pero es que no lo "entiendo".

$\mathbf b.)$ ¿Por qué no entra esta transformación lineal? ¿Es correcto mi trabajo en la parte 5? En general, ¿hay un método más fácil para verificar si algo es onto?

$\mathbf c.)$ ¿Cómo sería la base del núcleo en este caso? Esto es más que nada para satisfacer mi propia curiosidad/comprensión del tema.

$\mathbf d.)$ Esto es más "en general", pero si alguien tiene consejos sobre cómo trabajar transformaciones lineales entre 2 espacios vectoriales diferentes, me encantaría escucharlos. Realmente me cuesta, pero quizás escuchar consejos generalizados sobre cómo abordar estos problemas podría ayudarme en el futuro.

He tardado cerca de una hora en escribir todo esto con la sintaxis adecuada, así que por favor no me digas que "lo busque". He agotado todos los recursos disponibles para mí tratando de entender problemas como éste, y este tipo de problemas en general. Estoy buscando ayuda en este sitio porque estoy buscando una perspectiva diferente.

Agradezco sinceramente a quien se tome el tiempo de intentar ayudarme a entender esta pregunta, y este concepto en general. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Encontrar el núcleo primero es una buena idea. (aunque en realidad lo que necesitamos es encontrar la nulidad)

Construya la matriz aumentada (tenga en cuenta que la última columna no es realmente necesaria):

$$\left[\begin{array}{ccc|c}2 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$$

Y encontrar su correspondiente RREF: $$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$

Ver que la tercera columna no es una columna pivote, dejar $c=t$ . de la segunda ecuación, $b-2c=0$ Por lo tanto $b=2t$ de la primera ecuación, $a-c=0$ Por lo tanto $a=t$ .

Por lo tanto, la solución del sistema $Tx=0$ es $(a,b,c)=t(1,2,1)$ .

Una base del núcleo sería $\{ 1+2x+x^2\}$ .

Como se ha mencionado al principio, el objetivo es encontrar la nulidad. A partir del RREF, podemos ver que $rank(T)=2$ y el número de columnas es $3$ Por lo tanto $nullity(T)=1 > 0$ por lo que no es inyectiva.

Su codominio es $\mathbb{R}^3$ Sin embargo, como se puede ver en el RREF, $rank(T)=2 < 3$ no tiene suficientes vectores para abarcar $\mathbb{R}^3$ .

Answer 2

Por lo que tiene en $(2)$ :

$b=2a$ , $c=a$ y $a+b-3c=0$ . Sustituye la tercera ecuación utilizando las dos primeras, y obtén que $0=0$ . Por lo tanto, tienes cierto grado de libertad. Elija $a=1$ , digamos, y calcular $b=2$ y $c=1$ para conseguirlo. $1+2x+x^2\in \ker T$ . Adelante, aplique $T$ a este polinomio y verificar que es $0$ . (Hay un error en $(3)$ no estoy seguro de si te equivocaste al teclear o si el lugar de donde sacas la información se equivocó). Efectivamente, es un error ya que $T(1+x+x^2)=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ . Desde $1+2x+x^2\in\ker T$ y este es un polinomio no nulo, $\dim(\ker T)\ge 1$ . Utilizando su fórmula de nulidad de rango, ¿cuál es el máximo que $\dim(\text{Range} T)$ ¿puede serlo? Entonces, ¿puede esta transformación lineal ser onto? Si es onto, entonces es mejor que la dimensión del rango sea $3$ ya que esta es la dimensión de $\mathbb{R}^3$ .

Para responder a tu pregunta (c), investigamos un poco más a fondo nuestro grado de libertad de antes. Demostramos que cualquier vector $v\in\ker T$ tiene la forma $\begin{pmatrix}a\\2a\\a\end{pmatrix}$ para cualquier $a$ . Factor an $a$ de esto y conseguir que cualquier cosa en el núcleo tenga la forma $a+2ax+ax^2=a(1+2x+x^2)$ . Por lo tanto, parece que $\{1+2x+x^2\}$ es una base para $\ker T$ el espacio nulo de $T$ ya que abarca el espacio nulo y es linealmente independiente.

Para intentar responder a su pregunta (d): Diré que dos espacios vectoriales de dimensión finita cualesquiera son en realidad el mismo espacio vectorial pero de aspecto diferente. Tomemos $\mathcal{P_2}$ con la que estabas trabajando aquí. Podemos ver que $\{1,x,x^2\}$ es la base de este espacio. Asociar $(1,0,0)$ con $1$ , $(0,1,0)$ con $x$ y $(0,0,1)$ para $x^2$ nos permite ver $\mathcal{P_2}$ comme $\mathbb{R}^3$ . En este sentido, se puede leer la base del núcleo anterior como el vector $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ . De verdad, sigue trabajando en problemas que impliquen dos espacios vectoriales diferentes y mejorarás. Haz preguntas como las que estás haciendo cuando te atasques, pero recuerda empujar hasta que no puedas llegar a ninguna parte.

Espero que esto ayude un poco. Mucha suerte con tus estudios.

Answer 3

Supongo que ya has visto la formalización algebraica de las transformaciones lineales. Permíteme ofrecer una definición "hacia atrás" que a menudo encuentro útil, pero que requiere que primero especifique una base.

Se puede pensar en una transformación lineal como una transformación $T:V \to W$ para que $T(0)=0$ pero también tiene una estructura geométrica muy "rígida". En particular, si $\{v_1,\dots,v_n\}=S$ es una base para $V$ entonces la transformación lineal $T$ es una función que se extiende de forma única desde $S$ a todos los $V$ . Con esto quiero decir que una vez que se especifican los valores de $T$ en $S$ Esto determina la transformación lineal por completo.

Se puede pensar en las transformaciones lineales "inyectivas" como aquellas que son lo suficientemente buenas para que $T(v_1),\dots,T(v_n)$ forma una base para la imagen de $T$ . Esto significa exactamente que la imagen de cada vector base es de nuevo linealmente independiente. Otra forma de decir esto es que $a_1T(v_1)+ \dots a_nT(v_n)=0 \implies a_1=\dots=a_n=0$ . Pero, utilizando la linealidad, vemos que esto es encontrar exactamente el núcleo de $T$ : $a_1T(v_1)+ \dots a_nT(v_n)=0=T(a_1v_1+ \dots a_nv_n)=0$ .

Por lo tanto, basta con encontrar el núcleo ( esto es lo formal ).

En su problema, observe que está estudiando el espacio de los polinomios, por lo que podemos tomar una base $\{1,x,x^2\}$ . Para entender $T$ Es suficiente para entender a dónde son enviados estos tipos. $$1 \mapsto (2,1,-1)$$ $$x \mapsto (-1,1,0)$$ $$x^2 \mapsto (0,-3,1)$$ simplemente siguiendo las reglas prescritas. Por lo tanto, podemos formar la matriz $$T=\begin{pmatrix} 2 &-1 & 0 \\1 &1 &-3 \\-1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Obsérvese que esta es en realidad nuestra transformación lineal ya que, por ejemplo, $T(x)=(-1,1,0)$ .

Reduciendo las filas, vemos que el núcleo no es trivial.

Sin embargo, tu primer método también estaba bien, sólo tenías que notar que habías encontrado una solución no trivial para $T(x)=0$ .