$\operatorname{E}[X]$ y $\operatorname{E}[X\mid Y]$ para el binomio transformado

Question

Dejemos que $Y$ denotan el número de huevos puestos por una tortuga. Tiene una distribución de Poisson con $\operatorname{E}(Y)= \lambda$ . La probabilidad de que un huevo produzca una tortuga que sobreviva hasta la edad adulta es $p$ e independiente para cada huevo. Sea $X$ denotan el número de estos huevos que sobreviven hasta la edad adulta. Así, condicionado por $Y$ la ley de $X$ es $\operatorname{Binomial}(p,Y)$ .

(a) Determinar $\operatorname{E}(X\mid Y)$ y $\operatorname{E}(X).$
(b) Determinar $\operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$ y $\operatorname{var}(X).$
(c) Determine la covarianza de $X$ y $Y$ .

Solución: (¿Son correctas?)

(a) $E(X|Y)=pY$
$\quad E(X)=E(E(X|Y))=E(pY)=pE(Y)=p\lambda$

(b) $var(E(X|Y))= var(pY)=pvar(Y)=p\lambda; var(Y)=\lambda$ ya que es la varianza de una distribución de Poisson.
$\quad var(X)=var(E(X|Y))+E(var(X|Y))$

$var(E(X|Y))=p\lambda$
$E(var(X|Y)); var(X|Y)$ es la varianza de una distribución binomial, es decir $pY(1-p)$ y ahora aplica $E$ y obtener $E(pY(1-p))$ No estoy seguro de qué hacer a partir de ahora.

(c) $cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
$\quad E(X)=p\lambda, E(Y)=\lambda, E(XY)$ (respuesta a continuación)

Por favor, hazme saber si lo que tengo es correcto, y si es así, agradecería algo de ayuda con la parte inacabada de (b).

Answer 1

La distribución condicional de $X$ dado $Y$ es $pY$ . Así, por ejemplo, suponiendo $Y=4$ , el tenemos $\operatorname{E}(X\mid Y=4) = 4p,$ y tenemos $$\begin{align} \Pr(X=0 \mid Y=4) & = \binom 4 0 p^0 (1-p)^4 \\[4pt] \Pr(X=1 \mid Y=4) & = \binom 4 1 p^1 (1-p)^3 \\[4pt] \Pr(X=2 \mid Y=4) & = \binom 4 2 p^2 (1-p)^2 \\[4pt] \Pr(Y=3 \mid Y=4) & = \binom 4 3 p^3 (1-0)^1 \\[4pt] \Pr(X=4 \mid Y=4) & = \binom 4 4 p^4 (1-p)^0. \end{align}$$ Pero fíjese que aunque $\Pr(X=5\mid Y=4)$ es $0$ No obstante $\Pr(X=5)$ no es $0$ ya que $\Pr\Big(Y=\text{(for example) }6\Big)$ no es $0$ y si $Y=6$ entonces $X$ la probabilidad de que $X=5$ no es $0$ .

Así que tenemos $\operatorname{E}(X\mid Y) = Yp.$

Y entonces encontramos $\operatorname{E}(X) = \operatorname{E}\big( \operatorname{E}(X\mid Y)\big) = \operatorname{E}(Yp) = p\operatorname{E}(Y) = p\lambda.$

Entonces también hay que recordar que $$\operatorname{var}(X) = \operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) + \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y).$$ El primer término anterior es el "componente explicado" de la varianza de $X$ y el segundo es el "componente inexplicable". La idea es que la variabilidad de $Y$ explica parte de la de $X$ pero no todo: incluso con $Y$ fija, cierta variabilidad de $X$ sigue siendo.

$$\begin{align} \operatorname{E}(XY) & = \operatorname{E}(\operatorname{E}(XY\mid Y)) \\[10pt] & = \operatorname{E}( Y \operatorname{E}(X\mid Y)) & & \text{because when one conditions on $Y$,} \\ & & & \text{then one treats $Y$ as “constant.''} \\[10pt] & = \operatorname{E}(Y \cdot pY) \\[6pt] & = p\operatorname{E}(Y^2) \\[6pt] & = p(\lambda+\lambda^2) \end{align}$$ y entonces uno puede usar este valor esperado del producto en el proceso de encontrar la covarianza, y luego usar eso en encontrar la correlación.