Dejemos que $x_0,\dots,x_n$ sea una colección de puntos variables en $\mathbb{R}^2$ y que $c>0$ sea una constante fija. ¿Hay alguna manera de calcular un límite superior del volumen de la región en $\mathbb{R}^{2(n+1)}$ que consiste en todos los puntos en los que $$\|x_0\|+\sum_{i=0}^{n-1}\|x_i-x_{i+1}\|\leq c$$ et $$\|x_i\|\leq 1$$ para cada $i$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $V$ sea el volumen del espacio de configuración que describes en la pregunta. Anotaré aquí los dos límites superiores triviales para $V$ que surge de dejar de lado el segundo conjunto de desigualdades $\|x_i\|\leq 1$ o de dejar de lado la primera desigualdad. Para $c$ suficientemente grande o pequeño, estos límites se vuelven estrechos, como explico a continuación.
Dejemos que $r_i=\|x_i-x_{i-1}\|$ para $i=0$ a $n$ con la convención de que $x_{-1}=0$ . Por supuesto, $r_i\geq0$ para todos $i$ Así que $\vec{r}=(r_0,\dots,r_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ debe estar en el "ortante no negativo" de $\mathbb{R}^{n+1}$ .
Su primera desigualdad afirma que:
$\sum_{i=0}^nr_i\leq c$ .
Esto implica que $\vec{r}$ se encuentra en una "ortogonal $(n+1)$ -simplemente" en $\mathbb{R}^{n+1}$ cuyo $n+2$ Los vértices consisten en el $n+1$ vectores $(c,0,\dots,0)$ , $(0,c,0,\dots,0)$ etc., así como el origen $(0,\dots,0)$ . (Véase, por ejemplo, el debate aquí .) Llamemos a este simplex $S$ .
En general, el segundo conjunto de desigualdades $\|x_i\|\leq1$ no juegan bien con estos $r_i$ variables.
Sin embargo, tenga en cuenta que
$$\|x_0\|+\|x_1-x_0\|+\cdots+\|x_{i}-x_{i-1}\|$$ $$\geq \|x_0+x_1-x_0+\cdots+x_i-x_{i-1}\|=\|x_i\|,$$
por la desigualdad del triángulo. Por lo tanto, podemos ver que
$$\|x_0\|\leq\|x_1\|\leq\cdots\|x_n\|\leq c.(*)$$
(Llegados a este punto, quizás deba comentar que la primera desigualdad sugiere que su enlace es una cadena poligonal que une el origen en $\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $x_0$ $\rightarrow$ $x_1$ $\cdots$ $x_n$ donde la suma de las longitudes como máximo $c$ y el segundo conjunto de desigualdades requiere que todos los puntos $x_i$ se encuentran dentro del disco de la unidad).
La cadena de desigualdades anterior $(*)$ implica que cuando $c\leq 1$ no perdemos nada al eliminar el segundo conjunto de desigualdades. En este caso podemos parametrizar su espacio de configuración fijando primero el $r_i$ variables para que $\vec{r}$ se encuentra en $S$ y luego elegir una solución al conjunto de ecuaciones $\|x_i-x_{i-1}\|=r_i$ .
Geométricamente, su espacio de configuración es entonces un haz sobre $S$ donde la fibra sobre el punto $\vec{r}$ es un producto cartesiano de $(n+1)$ círculos con radios $r_0,\dots,r_n$ (es decir, el conjunto de soluciones de $\|x_i-x_{i-1}\|=r_i$ ). Esto tiene volumen $(2\pi)^{n+1}\prod_{i=0}^nr_i$ . Así, el volumen total del espacio de configuración cuando $c\leq1$ es la siguiente integral
$$I=(2\pi)^{n+1}\int_{S}\prod_{i=0}^n dr_ir_i.$$
Tenemos $I=V$ para $c<1$ y $I\geq V$ en general. Véase la nota debajo de la línea para un posible enfoque de la computación $I$ .
Podemos limitar fácilmente $I$ para conseguirlo:
$$V\leq(2\pi)^{n+1}c^{2n+2}/(n+1)!,$$
desde $c^{n+1}/(n+1)!$ es el volumen de $S$ y $r_i\leq c$ para todos $i$ .
Para $c$ suficientemente grande se puede hacer mejor con el límite superior aún más fácil
$$V\leq \pi^{n+1},$$
que se obtiene al dejar caer su primero desigualdad.
De hecho, esta tonta cota se hace estrecha para $c\geq(2n+1)$ . El lado derecho es la suma máxima de las distancias entre los adyacentes $x_i$ cuando están limitados a estar dentro del disco unitario de $\mathbb{R}^2$ -- lugar $x_{2i}$ en $(1,0)$ y $x_{2i-1}$ en $(-1,0)$ para $i\leq n/2$ para que $\|x_0\|=1$ y $\|x_i-x_{i-1}\|=2$ para $i=1$ a $n$ .
Aparte:
Es posible evaluar la integral $I$ más precisamente, utilizando las técnicas descritas en esta bonita respuesta de Igor Rivin a otra pregunta de MO . Véase la parte II-1 de las notas de Baldoni, Berline y Vergne a las que hizo referencia .
Hice un intento a continuación, pero como puedes ver, no llegué muy lejos.
Explícitamente, escribamos para los vértices de $S$ , $\vec{s}_{n+1}=(0,\dots,0)\in\mathbb{R}^{n+1}$ y $\vec{s}_i=(0,\dots,c,\dots,0)\in\mathbb{R}^{n+1}$ (con el $c$ en el $i+1$ coordenada) para $i=0$ a $n$ . Tenga en cuenta que el volumen de $S$ es $\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}$ ya que es una esquina del hipercubo $[0,c]^{n+1}$ .
La idea clave es que $\int_S r_0\cdots r_n dV$ (donde $dV=\prod_{i=0}^n$ es la medida del volumen en $\mathbb{R}^{n+1}$ ) es igual al coeficiente de $\xi_0\cdots\xi_n$ en
$\int_S \exp\left(\langle\vec{\xi},\vec{r}\rangle\right) dV$ .
(Donde $\vec{\xi}=(\xi_0,\dots,\xi_n)$ y $\vec{r}=(r_0,\dots,r_n)$ mienten en $\mathbb{R}^{n+1}$ ).
Entonces la fórmula de Brion da que $\int_S \exp\left(\langle\vec{\xi},\vec{r}\rangle\right) dV=(-1)^{n+1}(n+1)!(vol(S))\sum_{i=0}^{n+1}\frac{\exp(\langle\vec{\xi},\vec{s_i}\rangle)}{\prod_{j\neq i}\langle\vec{\xi},\vec{s_j}-\vec{s_i}\rangle}$ .
El lado derecho se simplifica en
$(-c)^{n+1}\left(\sum_{i=0}^n\frac{\exp(c\xi_i)}{c^{n+1}\prod_{j\neq i}(\xi_j-\xi_i)}+\frac{1}{c^{n+1}\prod_{i=0}^n\xi_i}\right)=\left(\sum_{i=0}^n\frac{\exp(c\xi_i)}{\xi_i^{n+1}\prod_{j\neq i}(1-\xi_j/\xi_i)}+\frac{(-1)^{n+1}}{\prod_{i=0}^n\xi_i}\right)$ .
Sólo la suma de $i=0$ a $n$ puede contribuir al coeficiente de $\xi_0\cdots\xi_n$ . Sin embargo, no pude calcular inmediatamente el coeficiente de $\frac{\exp(c\xi_i)}{\xi_i^{n+1}\prod_{j\neq i}(1-\xi_j/\xi_i)}$ en forma cerrada.
