Encontré esto en un viejo examen de calificación. Empecé el problema, pero no estoy seguro de cuál debe ser mi siguiente paso:
Dejemos que $T^2$ sea el toro estándar de 2 dimensiones con $\mathbb{Z}$ -coordenadas periódicas $(x,y)$ . Consideremos el campo vectorial $$ V = \sin(2\pi y) \dfrac{\partial}{\partial x}$$
Demostrar que cualquier campo vectorial $Y$ en $T^2$ que conmuta con $V$ es decir, $[Y,V] = 0$ tiene un coeficiente cero delante de $\frac{\partial}{\partial y}$ .
Empecé por dejar que $Y = f(x,y) \frac{\partial}{\partial x} + g(x,y) \frac{\partial}{\partial y}$ sea un campo vectorial arbitrario que conmuta con $V$ . Luego intenté calcular el soporte:
$$0 = [Y,V] = 2\pi\cdot g(x,y) \cos(2\pi y) \frac{\partial}{\partial x} - \sin(2\pi y) \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} - \sin(2\pi y) \frac{\partial g}{\partial x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}$$
Entonces deduje que como $\sin(2\pi y) \frac{\partial g}{\partial x} = 0$ y $\sin(2\pi y)$ no es siempre cero, por lo que $ \frac{\partial g}{\partial x} = 0$ . Esto significa que $g$ es una función de sólo $y$ .
Sin embargo, en este punto estoy atascado. ¿Alguna sugerencia?
