encontrar la probabilidad de seleccionar exactamente dos mujeres y al menos dos mujeres cuando se selecciona un comité de seis personas de $7$ hombres y $4$ ¿mujeres?

Question

Se forma un comité de seis miembros a partir de un grupo de $7$ hombres y $4$ mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité contenga

a. ¿exactamente dos mujeres?

b. ¿al menos dos mujeres?

Mi intento : dado $P(A) = 7/11$ y $P(B) = 4/11$

opción a) probabilidad de que el comité contenga

exactamente dos mujeres $$= \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = \frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{4}{11}}{\frac{4}{11}} = \frac{7}{11}$$

opción b)la probabilidad de que la comisión contenga al menos dos mujeres =

$$\frac{P(AB)}{P(A \cup B)} = \frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{4}{11}}{1- \frac{7}{11} \cdot \frac{4}{11}} = \frac{28}{93}$$

Si mi respuesta es correcta o no, estaría más agradecido a quienes rectifiquen mis errores......

Answer 1

Se forma un comité de seis miembros a partir de un grupo de $7$ hombres y $4$ mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité contenga exactamente dos mujeres?

Dado que hay un total de $7 + 4 = 11$ personas, el número de formas en que podemos seleccionar un comité de seis personas es $$\binom{11}{6}$$ Un comité de seis que contenga exactamente dos mujeres debe contener cuatro de los siete hombres y dos de las cuatro mujeres, por lo que puede ser seleccionado en $$\binom{7}{4}\binom{4}{2}$$ formas. Por lo tanto, la probabilidad de que el comité contenga exactamente dos mujeres es $$\frac{\dbinom{7}{4}\dbinom{4}{2}}{\dbinom{11}{6}}$$

En las mismas condiciones anteriores, ¿cuál es la probabilidad de que el comité contenga al menos dos mujeres?

Si la comisión contiene al menos dos mujeres, debe contener dos, tres o cuatro mujeres. Dado que hay seis personas en la comisión, una comisión que contenga exactamente $k$ las mujeres contienen $6 - k$ de los siete hombres y $k$ de las cuatro mujeres. Por lo tanto, hay $$\binom{7}{5}\binom{4}{2} + \binom{7}{4}\binom{4}{3} + \binom{7}{3}\binom{4}{4}$$ tales comités, por lo que la probabilidad de seleccionar un comité con al menos dos mujeres es $$\frac{\dbinom{7}{5}\dbinom{4}{2} + \dbinom{7}{4}\dbinom{4}{3} + \dbinom{7}{3}\dbinom{4}{4}}{\dbinom{11}{6}}$$
Alternativamente, el número de comités que contienen menos de dos mujeres es $$\binom{7}{6}\binom{4}{0} + \binom{7}{5}\binom{4}{1}$$ por lo que la probabilidad de que un comité contenga menos de dos mujeres es $$\frac{\dbinom{7}{6}\dbinom{4}{0} + \dbinom{7}{5}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{11}{6}}$$ Así, la probabilidad de que la comisión contenga al menos dos mujeres es $$1 - \frac{\dbinom{7}{6}\dbinom{4}{0} + \dbinom{7}{5}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{11}{6}}$$

Un indicio de que ha cometido un error es que la probabilidad de seleccionar al menos dos mujeres debería ser como mínimo la probabilidad de que un comité contenga exactamente dos mujeres.

Answer 2

¿No es más fácil calcular la probabilidad opuesta para la segunda pregunta?

b. ¿al menos dos mujeres?

Considere la $q$ probabilidad de que contenga $0$ mujer o sólo $1$ mujer entonces su probabilidad es $p= 1-q$

@Taussig buena respuesta pero hiciste un pequeño error no es $2$ pero $1$ en su fórmula.

$${{7}\choose{6}}{{4}\choose{0}} + {{7}\choose{5}}{{4}\choose{2}}$$