Distribución de cargas en la superficie de un conductor cargado

Question

Se dice que cualquier exceso de carga dentro de un conductor se redistribuirá en su superficie. Ahora hay dos casos para esto:-

1) Un conductor neutro colocado en un campo eléctrico 2) Un conductor cargado en el espacio.

Ahora lo que hacemos para explicar esta redistribución es suponer que hay un campo eléctrico neto dentro de un conductor. Los electrones libres se moverán en dirección opuesta a las líneas del campo eléctrico externo y causarán un 'campo eléctrico inducido' que eventualmente cancelará cualquier campo eléctrico neto dentro del conductor.

Pero ¿bajo qué ley se redistribuyen las cargas en la superficie?

Para explicarlo, se usa la Ley de Gauss.

$$\Phi = \frac {\text {Carga Dentro}}{\epsilon}$$

Como sabemos que no puede haber campo eléctrico dentro de un conductor, el flujo a través de una superficie gaussiana dentro del conductor debería ser cero.

De esta línea de razonamiento, decimos que la carga dentro de la superficie gaussiana debería ser cero.

Pero mi problema es, el valor de $\epsilon$ es infinito para un conductor. Entonces, para hacer que el flujo sea cero, la carga dentro no necesita ser cero...

¿Dónde está este problema incorrecto factualemnte/teóricamente?

Answer 1

El argumento macroscópico es que, si hay un campo dentro del conductor, las cargas libres en el conductor se moverán, por lo tanto, la única situación compatible con el estado estacionario es aquella en la que no hay campo en el interior y todas las cargas se redistribuyen en el límite físico de la superficie.

El argumento más microscópico - que implica la conductividad - es proporcionado por la ecuación de continuidad y se puede enunciar de la siguiente manera.

La corriente que fluye fuera de una superficie cerrada es $$I_{\textrm{out}}=\oint_S \vec J\cdot d\vec S =-\frac{dQ_{\textrm{encl}}}{dt}$$ donde $\vec J$ es la densidad de corriente. Dado que $Q_{\textrm{encl}}$ es simplemente $\int dv \rho_v$ obtenemos $$\begin{align} \oint_S \vec J\cdot d\vec S=\int_V \vec \nabla \cdot \vec J dv= -\int_V \frac{\partial \rho_v}{\partial t} dv \end{align}$$ y como el volumen es arbitrario, obtenemos la ecuación de continuidad para corrientes: $$\begin{align} \vec\nabla \cdot \vec J=- \frac{\partial \rho_v}{\partial t} \, . \end{align}$$ Según la ley de Ohm en su forma microscópica $\vec J=\sigma\vec E$ donde $\sigma$ es la conductividad por lo que $$\vec\nabla\cdot \vec J=\sigma \vec\nabla\cdot \vec E = \frac{\sigma \rho_v}{\epsilon}= \frac{\partial \rho_v}{\partial t}$$ donde se ha utilizado la forma microscópica de la ley de Gauss $\vec\nabla\cdot \vec E=\frac{\rho_v}{\epsilon}$. Resolviendo en $t$ mediante la separación de variables se obtiene $$\rho_v(\vec r, t)=\rho_v(\vec r, 0) e^{-\sigma t/\epsilon}\, . \tag{1}$$ Esta ecuación establece que la densidad de carga en la ubicación $\vec r$ en un conductor disminuye exponencialmente con el tiempo desde su valor inicial en esa ubicación. En particular:

1. Si $\sigma t/\epsilon$ es grande, entonces $e^{-\sigma t/\epsilon}$ es pequeño y la densidad de carga en ese punto es muy pequeña,
2. Si $\sigma t/\epsilon$ es pequeño, entonces $e^{-\sigma t/\epsilon}$ es cercano a 1 y la densidad de carga en ese punto no cambia mucho.

Para cualquier material $\epsilon=\epsilon_r\epsilon_0$ y $\epsilon_r$ típicamente es del orden de $\sim 1$ a $100$, mientras que $\epsilon_0\sim 10^{-11}$ por lo que numéricamente:

• Para un buen conductor como el cobre, $\sigma>10^{4}$ y $\sigma t/\epsilon \sim 10^{15} t$ es muy grande excepto para tiempos extremadamente cortos. Por lo tanto, el estado estacionario donde no hay densidad de carga $\rho(\vec r, t)\approx 0$ en el interior, se alcanza muy rápidamente. En un conductor perfecto donde $\sigma\to \infty$ la carga en el interior alcanza $0$ en un tiempo arbitrariamente pequeño.
• Para un buen aislante como el cuarzo, $\sigma<10^{-15}$ por lo que $\sigma/\epsilon$ es bastante pequeño y $\rho(\vec r, t)\to 0$ muy lentamente. De hecho, las suposiciones detrás de este modelo simple deben ser revisadas cuando los tiempos de relajación son tan largos.

Answer 2

La forma en que lo entiendo (que puede que no sea del todo correcto, pero voy a intentarlo), la permitividad eléctrica mide la facilidad con la que la carga eléctrica puede moverse a través de un material, y por lo tanto cuál es la polarizabilidad del material. Por lo tanto, la carga contenida dentro de alguna área en el material en realidad depende de $\epsilon$. Supondría que, si pudieras escribir $q_{enc}$ como una función de $\epsilon$ (y de $E$), terminarías con una función que se acercaría a cero a medida que $\epsilon$ se acercara a infinito.