¿Tenemos $R\simeq S$ para dos submódulos $R,S$ de $A^n$ ?

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con identidad. Dados dos submódulos $R,S$ de $A^n$ (donde $n\in\Bbb N$ ), si existe un isomorfismo de $A$ -módulos $A^n/R\simeq A^n/S$ Entonces, ¿tenemos $R\simeq S$ ?

Nótese que esto es definitivamente falso para cocientes de módulos no libres: véase, por ejemplo, Módulos cocientes isomorfos $ \Rightarrow$ submódulos isomórficos o La isomorfía de los módulos cotizantes implica la isomorfía de los submódulos .

Answer 1

Esto es falso incluso para los sumandos directos. Por ejemplo, tomemos $R=\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2=1)$ el anillo de coordenadas de la esfera real. Sea $P$ sea definido como el núcleo del mapa suryectivo $R^3\to R$ dado por $(x,y,z)$ . ( $P$ es el haz tangente de la esfera). Entonces $P\oplus R\cong R^3$ pero $P$ no es gratis.

Answer 2

No.

Dejemos que $A=\Bbb Z^\Bbb N=\{\,f\colon \Bbb N\to\Bbb Z\,\}$ , $n=1$ , $R=\Bbb Z=\{\,f\in A\mid \forall n>0\colon f(n)=0\,\}$ y $S=0$ . Entonces $A^1/R\cong A^1/S\cong A$ pero por supuesto $R\not\cong S$ .