Convergencia compleja de $\sum\limits_{n=0}^{\infty} i^n z^n$

Question

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} i^n z^n$$

Soy nuevo en el análisis complejo, pero supongo que queremos aplicar la prueba de la proporción a la forma:

$$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{i^{n+1} \ z^{n+1}}{i^n \ z^n}\right| = \lim_{n \to \infty} |i z| < 1$$

Desde $|i| = 1$ nos queda que el disco de convergencia es $|z| < 1$ . ¿También tendría que calcular formalmente la convergencia o divergencia de la serie en $z = 1, -1$ ?

Gracias.

Answer 1

Tienes la idea correcta pero no estás en $\mathbb{R}$ más: hay que comprobar la convergencia en cada punto de la frontera, es decir $z=e^{i\theta}, 0\le \theta < 2\pi$ . Afortunadamente, esto es relativamente fácil: los términos no superan la Prueba de Divergencia (también conocida como Prueba de Términos, que dice que si $\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0, \sum a_n$ diverge), por lo que la serie diverge cuando $|z|=1$ .

Answer 2

Observe que $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ . Para $z=e^{i\theta}$ , set $\theta'=\theta+\frac{]pi}{2}$ . Uno consigue que

$$ \begin{align} \sum^N_{n=0}i^nz^n=\sum^N_{n=0}e^{in(\tfrac{\pi}{2}+\theta)}=\sum^N_{n=0}e^{in\theta'}= \frac{1-e^{i(N+1)\theta'}}{1-e^{i\theta'}}\tag{1}\label{one} \end{align} $$

Recordemos que una serie if (compleja) $\sum_na_n$ converge, entonces $a_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$

En $\eqref{one}$ El $n$ -El término número uno de la suma es $a_n=e^{in\theta'}$ . Desde $|a_n|=1$ la serie $\sum_ne^{in\theta'}$ no converge. Esto ocurre para cualquier $\theta$ , por lo que la serie $\sum_ni^nz^n$ diverge en $\{z:|z|=1\}$ .

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Esto está fuera del alcance del PO, pero vale la pena mencionar que el comportamiento de las sumas parciales en $\eqref{one}$ se puede analizar observando el comportamiento del lado izquierdo $$ \begin{align} S_N(\theta'):=\frac{1-e^{i(N+1)\theta'}}{1-e^{i\theta'}}\tag{2}\label{two} \end{align} $$

Si $\theta'$ es racional, digamos $\theta'=\frac{p}{q}$ , $gcd(p,q)=1$ entonces $S_N(\theta')$ toma $q$ diferentes valores como $N$ se extiende sobre $\mathbb{N}$ y $S_N(\theta')$ se mueve a través de sus valores periódicamente.

Un comportamiento mucho más interesante se produce cuando $\theta'$ es irracional. Por lo tanto, los valores de $e^{i(N+1)\theta'}$ forman un conjunto denso en el círculo unitario $\{z:|z|=1\}$ y así, los valores de la $S_N(\theta')$ forman un conjunto denso en un círculo.

Answer 3

La serie geométrica $$\sum_{n=0}^\infty w^n$$ se sabe que converge para $|w|<1$ y divergen para todo $|w|\ge 1.$

Dejemos que $w=iz.$