Informática $\int_0^1 xe^{2x}\, dx$

Question

Mi enfoque para calcular $\int_0^1 xe^{2x}\, dx$ es a través de la integración por partes estableciendo $$ u'(x)=x^2,\qquad v(x)=e^{2x} $$ que me da $$ \int_0^1xe^{2x}\, dx=\frac{e^2}{2}-\int_0^1x^2e^{2x}\, dx. $$ A continuación, se realiza de nuevo la integración por partes mediante la fijación de $$ u'(x)=x^2,\qquad v(x)=e^{2x}, $$ Me sale $$ \int_0^1 x^2e^{2x}\, dx=\frac{e^3}{3}-\frac{2}{3}\int_0^1x^3e^{2x}\, dx $$ que me da $$ \int_0^1 xe^{2x}\, dx=\frac{e^2}{6}+\frac{2}{3}\int_0^1 x^3e^{2x}\, dx. $$

Supongo que ahora tengo que hacer otra integración por partes y demás pero esto no se acaba. Entonces, ¿qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Existe una regla general, conocida como regla ILATE o LIATE, según la cual

I - Trigonometría inversa, L - Logarítmica, A - Argelina, T - Trigonométrico, E - Exponencial,

Sugiere que el tipo de función que aparece primero en el acrónimo se tome como $v(x)$ y el otro como $u'(x)$ .

En este caso, $x$ es algebraico y $e^{2x}$ es exponencial. Esto sugiere un orden inverso al que usted eligió.

$$I=\int_0^1xe^{2x}dx=\frac{e^2}{2}-\frac12\int_0^1e^{2x}dx$$

que se puede simplificar fácilmente.

Ver también esta pregunta y esta pregunta .

Answer 2

Puedes calcular fácilmente la integral por partes: recuerda que $\int fg'=fg-\int f'g$ . Entonces usted elige $f(x)=x$ para que $f'(x)=1$ y $g'(x)=\mathrm{e}^{2x}$ obteniendo así $g(x)={1\over 2}\mathrm{e}^{2x}$ . Calcula $$ \int x\mathrm{e}^{2x}\,dx={1\over 2}x\mathrm{e}^{2x}-{1\over 2}\int \mathrm{e}^{2x}\,dx={1\over 2}x\mathrm{e}^{2x}-{1\over 4}\mathrm{e}^{2x}+C. $$ Así es: $$ \int_0^1 x\mathrm{e}^{2x}\,dx=\left[{1\over 2}x\mathrm{e}^{2x}-{1\over 4}\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1={1\over 4}\mathrm{e}^2+{1\over 4}. $$