$f$ no tiene ceros en $\mathbb{D}$

Question

Dejemos que $f$ sea una función holomorfa, definida en una vecindad de $\overline{\mathbb{D}}$ . Supongamos que $f(\partial\mathbb{D})\in\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$ .

Demuestra que $f$ no tiene ceros en $\mathbb{D}$ .

¿Cómo puedo demostrarlo? Lamentablemente no tengo ni idea.

Answer 1

Porque $f$ no tiene ceros ni polos en $\partial\mathbb{D}$ podemos aplicar el principio de argumentación a $f$ en este contorno. En el interior $\partial\mathbb{D}$ , $f$ no tiene polos así que por el principio del argumento, $\int_{\partial\mathbb{D}}\frac{f'(z)}{f(z)}=2\pi iN$ donde $N$ es el número de ceros. Por un cambio de variables, $\int_{\partial\mathbb{D}}\frac{f'(z)}{f(z)}=\int_{f(\partial\mathbb{D})}\frac{1}{w}\,dw$ donde esta última expresión es el número de bobinado de la trayectoria $f(\partial\mathbb{D})$ alrededor del origen. Esto debe ser cero porque $f(\partial\mathbb{D})$ nunca cruza $[0,\infty)$ . Más explícitamente, porque $f(\partial\mathbb{D})\in\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$ podemos definir una rama holomorfa del logaritmo que contiende $f(\partial\mathbb{D})$ . Este logaritmo servirá como primitivo de $\frac{1}{w}$ por lo que su integral alrededor de la curva cerrada $f(\partial\mathbb{D})$ se desvanecerá.