¿Los polinomios alcanzan su infimo?

Question

Supongamos que $p\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ es un polinomio tal que $I:=\inf_{x\in\mathbb{R}^d} p(x)>-\infty$ . ¿Existe $x\in\mathbb{R}^d$ tal que $p(x)=I$ ?

Answer 1

Sí para $d=1$ .

No siempre para $d\geq 2$ . La idea es encontrar dos polinomios $q_i$ , $i=1,2$ cuyos conjuntos cero son disjuntos pero infinitamente cercanos en el infinito, y el conjunto

$$ p(x):=q_1(x)^2+q_2(x)^2>0. $$

Por ejemplo, elija $d=2$ , $q_1(x)=x_1$ (juego de ceros: $x_2$ -eje), $q_2(x)=(x_1x_2-1)$ (conjunto hiperbólico cero que se aproxima $x_2$ -) y considerar $x^{(n)}=(1/n,n)$ .