Ecuaciones de Yang-Mills

Question

Me gustaría que alguien me explicara las ecuaciones de Yang-Mills tal y como se definen en algunos libros: $$ \begin{cases} d_D F = 0 \\ *d_D *F = J \end{cases} $$ ¿Qué es? $ d_D $ ? ¿Qué es $ F $ ? ¿Qué son $ *d $ y $ *F $ ? ¿Qué es $ J $ ? ¿Podemos representar esas cantidades con una matriz para simplificar la explicación?

Muchas gracias a todos.

Answer 1

Si se trata de la electrodinámica estándar en 4d, el significado de estos símbolos es el siguiente $\rm d$ es la derivada exterior, $F$ es la forma 2 de la intensidad de campo (obtenida como $F = {\rm d} A$ de la forma potencial 1 $A$ ) y $J$ es la corriente electromagnética. Las ecuaciones que has escrito se llaman ecuaciones de Maxwell. El símbolo $*$ es el dual de Hodge, una operación estándar en el álgebra exterior que toma un $k$ -a un $n-k$ -forma cuando estamos en un $n$ -de las dimensiones.

Ahora, para sus preguntas más generales. La teoría general de Yang-Mills no es la simple $U(1)$ abelian gauge como en el caso anterior ( $U(1)$ La simetría gauge significa que somos libres de recalibrar el potencial para $A + {\rm d} \xi$ sin afectar a $F$ desde $\rm d^2 = 0$ ) pero tiene un grupo mayor (normalmente no abeliano) $G$ de simetrías. Asociado a este grupo está la conexión (relacionada con $A$ arriba) y su curvatura $F$ que viven en determinados paquetes relacionados con el grupo $G$ arriba. El símbolo $d_D$ es la derivada exterior covariante. Combina la derivada exterior habitual con la covariante $\nabla$ operador asociado a la conexión. Se trata de un agradable formalismo que hace que la durísima teoría de Yang-Mills parezca casi una teoría de Maxwell. Por último, $J$ es algún tipo de corriente, dependiendo de la teoría.