Apilando círculos con $r= \frac {1}{p}$ dentro de un círculo con $r = 1$

Question

Empecemos con un círculo con radio $1$ . Ahora supongamos que insertamos continuamente círculos desde arriba con radios $ \frac {1}{p}$ (primero un círculo con $r = \frac {1}{2}$ y luego un círculo con $r = \frac {1}{3}$ ...para que descansaran en la posición más baja posible, lo que significa que los círculos no pueden cruzarse o superponerse entre sí. Para ilustrar lo que quiero decir, aquí hay una imagen:

Mi pregunta es si podemos seguir haciendo esto infinitamente sin exceder nunca el círculo exterior.

Ahora se sabe que la suma de los recíprocos primos al cuadrado converge a aproximadamente $0.452247$ así que sabemos que el área total de todos los círculos internos es menos de la mitad del área del círculo externo. Mirar la imagen me lleva a creer que podemos fácilmente llenar el círculo infinitamente desde arriba, pero no estoy del todo seguro y me gustaría averiguar si esto puede ser probado matemáticamente.

Answer 1

Vea mi pregunta, que hace el mismo tipo de cosas, pero considera los círculos con radios $1/n, \ \forall n \in \Bbb {N}$ ¿Pueden todos los círculos del radio $1/n$ ser empaquetado en un disco unitario, excluyendo el círculo de radio $1/1$ ?

Porque si esa pregunta es cierta, entonces obviamente los círculos con radios ocupados sólo por los primos encajarían dentro del círculo de la unidad.