¿Es cierto que $\lim_{n \to \infty}|a_n|^{r}=\left(\lim_{n \to \infty}|a_n|\right)^{r}$ pour $0<r<1$ ?

Question

¿Es cierta la regla de la potencia (fraccionaria) para el límite de una secuencia $|a_n|$ en $n \to \infty$ Es decir

$$\lim_{n \to \infty}|a_n|^{r}=\left(\lim_{n \to \infty}|a_n|\right)^{r}$$ pour $0<r<1$ asumiendo que $\lim_{n \to \infty}|a_n|=0$ ?

Edición: Tomemos cualquier $\epsilon>0$ y $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n>n_0$ tenemos $$|a_n-0|<\epsilon^{1/r}.$$ Llevando a ambas partes al poder de $0<r<1$ conseguimos que $$|a_n-0|^r<\epsilon,$$ lo que significa que $\lim_{n \to \infty}{|a_n|^r}=0.$

Answer 1

Por definición de límite tenemos que

$$\lim_{n \to \infty}|a_n|=0 \iff \forall \varepsilon>0\quad\exists n_0\quad \forall n>n_0\quad|a_n|<\varepsilon$$

entonces por $\varepsilon_r=\varepsilon^r$

$$\forall \varepsilon_r>0\quad\exists n_0\quad \forall n>n_0\quad|a_n|^r<\varepsilon^r=\varepsilon_r\iff \lim_{n \to \infty}|a_n|^{r}=0$$