Comprobación de la prueba: el producto de dos funciones continuas es continuo

Question

Demostrar que si $f, g$ : $X$ $\mathbb R$ son continuas en $a$ $\mathbb R$ entonces $f · g$ es continua en $a$ .

Si $f$ es continua en $a$ entonces $_f > 0, _f > 0$ tal que

$|x-a| < _f$ si $|f(x) - f(a)| < _f$

y si $g$ es continua en $a$ entonces $_g > 0, _g > 0$ tal que

$|x-a| < _g$ si $|g(x) - g(a)| < _g$ .

Ahora haz $|f(x)g(x) - f(a)g(a)|$ = $|f(x)g(x) - f(x)g(a) + f(x)g(a) - f(a)g(a)|$ $$ $ |f(x)|g(x)-g(a)| + |g(a)||f(x)-f(a)| $ < $ _f|g(a)| + _g|f(x)|$. (1)

Tenga en cuenta que si $|f(x) - f(a)| < _f$ entonces $|f(x)| - |f(a)| < _f$ Así que $|f(x)| < _f + |f(a)|$ .

Eso implica, desde (1) : $|f(x)g(x) - f(a)g(a)| < _f|g(a)| + _g(_f + |f(a)|) = _f(|g(a)| + _g|f(a)|)$ .

Ahora estoy un poco perdido. Por las pruebas que he visto, me parece que podría simplemente tomar $ = min(_g, _f)$ . Además, como $_f$ y $_g$ puede hacerse tan pequeño como se quiera, habrá alguno que satisfaga las condiciones de continuidad. Pero por lo que he leído, debería mostrar explícitamente a en términos de . De todos modos, razoné que como $f$ y $g$ son continuos, puedo hacer límites en $x$ simétricamente* como se hace para $f(x)g(x)$ y obtuve lo siguiente:

\= $_f(|a| + _g|a|)$ = $_f|a|(1 + _g)$

Así que..:

$|x-a| < _f|a|(1 + _g)$ si $|f(x)g(x) - f(a)g(a)| < _f(|g(a)| + _g|f(a)|)$

• Necesito aclarar/definir mejor esto, pero es básicamente la noción de que haciendo las mismas operaciones que hice en los límites de $f(x)g(x)$ en relación con los límites de $f(x)$ y $g(x)$ individualmente sobre los límites de $x$ para cada función, debería dejarme con los límites adecuados para $x$ en la función compuesta.

Answer 1

Parece que tienes las bases de una prueba correcta. Aquí hay algunas cosas en las que hay que pensar cuando se hacen pruebas de análisis real. Esencialmente quieres demostrar que, dado cualquier $ε > 0$ existe alguna $\delta>0$ s.t. $|x-a| < \delta \rightarrow |f(x)g(x) - f(a)g(a)| < ε$ .

Así que elijamos un $ε$ . Tenemos que demostrar que hay algún $\delta$ que puede satisfacer la propiedad mencionada. Ahora bien, antes de encontrar esta $\delta$ tenemos que investigar cómo podemos conseguirlo. Mirando su (1) a continuación:

$$ \begin{split} &|f(x)g(x) - f(a)g(a)| \\ &=|f(x)g(x) - f(x)g(a) + f(x)g(a) - f(a)g(a)| \\ &≤ |f(x)||g(x)-g(a)| + |g(a)||f(x)-f(a)| \\ &< ε_f|g(a)| + ε_g|f(x)|. \end{split} $$ Ahora bien, si puedes elegir un $\delta$ tal que $ ε_f|g(a)| + ε_g|f(x)| \leq ε$ entonces hemos terminado. Nuestro objetivo será conseguir $ε_f|g(a)| \leq \frac{ε}{2}$ y $ε_g|f(x)| \leq \frac{ε}{2}$ por lo que su suma será menor o igual a $ε$ .

Es importante recordar que, debido a la continuidad de f y g, se puede elegir $ε_f$ y $ε_g$ para tener los valores que quieras.

Así que dejemos $\delta_f$ sea el valor apropiado tal que $ε_f = \frac{ε}{2|g(a)|+1}$ (2) y por lo tanto $ε_f|g(a)| = \frac{ε|g(a)|}{2|g(a)|+1}< \frac{ε}{2}$ (el +1 en el denominador está ahí para evitar la división por 0).

Recogiendo $ε_g$ es más difícil porque necesitamos $ε_g|f(x)| \leq \frac{ε}{2}$ y el $f(x)$ no es una constante como $g(a)$ era en el caso anterior. Tenemos que acotar el $f(x)$ de alguna manera. Pues bien, como f es continua, si dejamos que $x$ y $a$ sean lo suficientemente cercanas entre sí, podemos acotar f. Escojamos un $\delta_b$ s.t. para $|x-a|<\delta_b$ tenemos $|f(x) - f(a)| < ε \implies |f(x)| < ε + |f(a)|$ (3) por el triángulo ineq. Y así tenemos, para $x$ y $a$ lo suficientemente cerca, $ε_g|f(x)| < ε_g(ε + |f(a)|)$ y así dejamos que $\delta_g$ sea el valor apropiado tal que $ε_g = \frac{ε}{2(ε +|f(a)|)}$ (4) y así $ε_g|f(x)| < \frac{ε}{2(ε +|f(a)|)}(ε + |f(a)|) = \frac{ε}{2} $

Así, dado que $x$ y $a$ están lo suficientemente cerca entre sí (explicado al final), podemos obtener $ε_f|g(a)| \leq \frac{ε}{2}$ y $ε_g|f(x)| \leq \frac{ε}{2}$ y así $ε_f|g(a)| + ε_g|f(x)| \leq ε$ y así

$$ \begin{split} &|f(x)g(x) - f(a)g(a)| < ε_f|g(a)| + ε_g|f(x)| \leq ε \\ &\implies |f(x)g(x) - f(a)g(a)| < ε \end{split} $$ según sea necesario.

Pero ¿qué significa para $x$ y $a$ para estar lo suficientemente cerca? Tenemos que especificar lo cerca que tienen que estar realmente (esto es, en última instancia, nuestro $\delta$ que estamos tratando de encontrar). Bien, necesitamos $|x-a| < \delta_f$ pour (2) y necesitamos $|x-a| < \delta_b$ pour (3) y necesitamos $|x-a| < \delta_g$ pour (4) y así podemos decir $x$ y $a$ están lo suficientemente cerca si $|x-a| < min\{\delta_f,\delta_g,\delta_b\}$ y así $\delta=min\{\delta_f,\delta_g,\delta_b\}$

Espero que esto ayude.

Answer 2

La esencia de una prueba de continuidad es mostrar que para cualquier $\epsilon$ , puede encontrar un $\delta$ y normalmente esas pruebas son constructivas (efectivamente se establece una fórmula para $\delta$ en función de $\epsilon$ ).

En el caso que nos ocupa, se sabe que dicha relación es válida para $f$ y $g$ y necesita establecerlo para $f\cdot g$ . Específicamente,

$$\forall\epsilon_f,\epsilon_g:\exists \delta_f,\delta_g\implies\forall\epsilon_{f\cdot g}:\exists\delta_{f\cdot g}.$$

El siguiente paso es demostrar que para un $\epsilon_{f\cdot g}$ puede elegir valores de $\epsilon_f,\epsilon_g$ tal que la condición de continuidad se cumple para $f\cdot g$ (véase el apéndice). Entonces, por continuidad de $f$ y $g$ la condición de continuidad global se cumple cuando se está dentro de los dos correspondientes $\delta_f,\delta_g$ barrios de $a$ es decir, en una zona de radio $\min(\delta_f,\delta_g)$ .

$$\epsilon_{f\cdot g}\xrightarrow[\text{assignment}]{}\epsilon_f,\epsilon_g\xrightarrow[\text{confinuity of }f,g]{}\delta_f,\delta_g\xrightarrow[\text{common neighborhood}]{}\delta_{f\cdot g}.$$

Esto establece una relación funcional entre $\epsilon_{f\cdot g}$ y $\delta_{f\cdot g}$ .

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Anexo :

Como usted estableció,

$$|f(x)g(x)-f(a)g(a)|<|f(x)|\,|g(x)-g(a)|+|f(x)-f(a)|\,|g(a)|$$ lo que implica, de forma molesta, que $f(x)$ y es mejor sustituirlo por

$$<|f(a)|\,|g(x)-g(a)|+|f(x)-f(a)|\,|g(a)|+|f(x)-f(a)|\,|g(x)-g(a)|.$$

En cuanto a la $\epsilon$ ,

$$|f(x)g(x)-f(a)g(a)|<|f(a)|\epsilon_g+|g(a)|\epsilon_f+\epsilon_f\epsilon_g<\epsilon.$$

Para lograr la última desigualdad, es libre de definir el $\epsilon$ de manera que le convenga, por ejemplo, asegurándose de que ninguno de los términos supere un tercio de $\epsilon$ : $$\epsilon_f<\min\left(\frac{\epsilon_{f\cdot g}}{3|g(a)|},\sqrt{\frac{\epsilon_{f\cdot g}}3}\right),\\ \epsilon_g<\min\left(\frac{\epsilon_{f\cdot g}}{3|f(a)|},\sqrt{\frac{\epsilon_{f\cdot g}}3}\right).$$

Answer 3

Después de haber establecido que $$|f(x)g(x)-f(a)g(a)|\le|f(x)g(x)-f(a)g(x)|+|f(a)g(x)-f(a)g(a)|\\ =|f(x)-f(a)||g(x)|+|f(a)||g(x)-g(a)|,$$

por la continuidad de $g(x)$ , puede hacer que el factor $|g(x)|$ arbitrariamente cerca de $|g(a)|$ y no es un gran problema encontrar $\delta_f,\delta_g$ que garantizan

$$\epsilon_f(|g(a)|+\epsilon_g)+|f(a)|\epsilon_g<\epsilon.$$