El punto de vista que das de cuantificar el espacio de fase no es tan bueno. Si tienes un espacio de fase clásico, habrá más de un análogo cuántico, que se diferenciará por términos conmutadores que desaparecen clásicamente. Nunca me pareció especialmente lúcida la idea de que se parte de un sistema clásico el sistema cuántico está definido por la integral de trayectoria, y la respuesta debe encontrarse siempre en la propia integral de trayectoria.
En 4d, como has dicho en los comentarios, el problema se esquiva utilizando el superespacio N=1 más la simetría R apropiada, que rota las diferentes SUSY entre sí, asegurando que la SUSY completa está ahí. Para que la teoría sea SUSY, basta con comprobar que la teoría es N=1 y que la simetría R es buena. Esto suele ser manifiesto, ya que la simetría R es una simple rotación global de los campos entre sí. Pero esto no funciona en 10 u 11 dimensiones.
Una parte de la respuesta sugerida por Qmechanic, la ecuación de Schwinger Dyson (ecuación de movimiento de Heisenberg) es obedecida por los operadores de campo, por lo que la variación realmente se desvanece como un operador, en un cierto sentido descrito precisamente a continuación. Pero esta no es una respuesta completa porque no es cierto que todo lo que desaparece clásicamente cuando se satisfacen las ecuaciones de movimiento también desaparece cuánticamente, en la integral de trayectoria. La razón es que las cantidades en la integral de trayectoria pueden multiplicarse en el mismo punto del espacio y del tiempo, y hay singularidades de los productos de operadores coincidentes que hacen que las ecuaciones de movimiento ingenuas fallen exactamente en el tipo de expresiones que se dan en la acción.
Para un ejemplo trivial, considere el producto de dos operadores X
$$\langle x(t) x(t')\rangle = 0 $$
En la integral de trayectoria euclidiana trivial de partículas libres (movimiento browniano) 1-d (mecánica cuántica, no teoría de campos) $S= \int \dot{x}^2$ . El operador X obedece a la ecuación de movimiento $\ddot{X}=0$ por lo que la segunda derivada es cero, pero por supuesto no lo es en el punto coincidente (o el propagador desaparecería en todo momento con las condiciones de contorno razonables). La segunda derivada correcta de la función de correlación es
$$ \langle \ddot{x}(t) x(t')\rangle = \delta(t-t')$$
La ecuación del movimiento se mantiene excepto en los puntos coincidentes. Lo mismo ocurre en las teorías de campo por la misma razón: el propagador se origina en el punto donde los dos operadores coinciden por una función delta con amplitud unitaria (si los campos están canónicamente normalizados).
Además, como $\ddot{X}=0$ se podría pensar que la siguiente transformación es una simetría
$$ \dot x + \epsilon f(t)\ddot{X} $$
Dado que la variación de S a primer orden en $\epsilon$ es $\int \dot{x}\ddot{x}f(t)$ . Así que ingenuamente, usando la ecuación del movimiento $\ddot{x}=0$ ingenuamente encontrarías que esto es una simetría. Pero esto es una tontería obvia--- si f es no-constante (si f es constante, la transformación es una traslación de tiempo) esto obviamente no es una simetría de la acción. ya que es una traslación de tiempo por una cantidad diferente en diferentes momentos, y hay una unidad de tiempo definida por la difusión.
La razón es que el $\ddot{x}$ se multiplica por un $\dot{x}$ y cuando hay cantidades coincidentes, las ecuaciones del movimiento no se satisfacen necesariamente. La variación real de S es
$$ \int f(t) {d\over dt} {\dot{x}^2\over 2}$$
y se ve que es una derivada perfecta si f es constante, asumiendo la convención de Stratonovich para las derivadas temporales--- diferencias centradas--- y esta es la simetría de la traslación del tiempo en este caso), pero no es una simetría si f no es constante.
¿Cuándo se satisfacen las ecuaciones de movimiento en una integral de trayectoria?
Cuando tienes un camino integral:
$$ \int e^{iS} D\phi $$
La integral es invariable bajo un desplazamiento de las variables de integración $\phi(x)+\delta\phi(x)$ , donde $\delta\phi$ es una función arbitraria de x, ya que cada integral es invariante de traslación por separado. No hay ningún determinante para esta transformación - es sólo un cambio en la variable de integración por una constante en cada momento.
El cambio en el integrando cuando se hace el desplazamiento es, dado por la expansión de la cosa a primer orden.
$$ \int e^{iS(\phi+\delta\phi)} D\phi = \int e^{iS} D\phi + i\int (\int {\delta S\over \delta \phi(x)}\delta\phi(x) d^dx) e^{iS} D\phi $$
y a partir de esto, se aprende que las ecuaciones del movimiento se satisfacen. Esta es la demostración correcta de las ecuaciones del movimiento.
$$ {\delta S\over \delta\phi} = 0 $$
Esta es la ecuación de movimiento del $\phi$ campo, sólo un campo. Ahora suponga que tiene otras inserciones (operadores compuestos $O_k$ ):
$$ \int O_1(x_1) O_2(x_2) ... O_n(x_n) e^{iS} D\phi $$
Ahora haciendo el mismo desplazamiento, a primer orden, se encuentra
$$ \int (O_1 +\delta O_1(x_1)) ... (O_n+\delta O_n(x_n)) e^{iS} (1+i\delta S) D\phi = \int e^{iS} D\phi $$
Así que se encuentra que la ecuación de movimiento para el campo único $\phi$ se satisface incluso con inserciones de operadores compuestos, excepto en los puntos coincidentes:
$$ -i\, {\delta S\over \delta \phi(x)} \, O_{1}(x_1) ... O_{n}(x_n) = {\delta O_1 (x_1)\over \delta \phi(x)} O_2(x_2) ... O_n(x_n) + O_1(x_1){\delta O_2(x_2)\over \delta\phi(x)}...O_n(x_n) + ... + O_1(x_1)O_2(x_2) ... O_{n-1}(x_{n-1}){\delta O_n(x_n)\over \delta \phi(x)}.$$
Esta es la ecuación del operador para la ecuación del movimiento que multiplica las expresiones arbitrarias de otros campos. La expresión se conoce como ecuación de Schwinger-Dyson.
No sólo es cierto como valor de expectativa en el vacío, porque se satisface independientemente de las condiciones de contorno de la integral de trayectoria, que no tiene que ser en el vacío, y no es necesario hacer una integral de trayectoria desde el tiempo menos infinito hasta el tiempo infinito, la identidad se mantiene en un estado arbitrario.
Este argumento de Schwinger-Dyson para inserciones de cualquier tipo con muchos campos corriendo implica las siguientes reglas para usar la ecuación del movimiento:
- Las ecuaciones de movimiento derivadas de la variación de $\phi$ se satisfacen como ecuaciones del operador lejos de las inserciones.
- la ecuación de movimiento derivada de la variación de $\phi$ están satisfechos incluso en las inserciones cruzadas de otros campos fundamentales (integraciones de trayectorias independientes) que no sean $\phi$ .
- las ecuaciones de movimiento fallan sólo en las inserciones de operadores compuestos o elementales que varían cuando se desplaza el campo de cuya ecuación de movimiento se habla, y el fallo es del tipo de identidad de sala.
Así que no es cierto que todo lo que se desvanece clásicamente no tiene efecto. Pero cuando se tiene un producto de la ecuación del movimiento multiplicando funciones de campos que son diferentes a la que se varía para obtener la ecuación del movimiento, éstas siguen siendo idénticamente cero.
En el caso de SUSY, su variación implica productos de campos con sus compañeros de SUSY, que son variables de integración independientes. Las ecuaciones de movimiento se satisfacen en los productos que reduces, por lo que usar las ecuaciones de movimiento en el cierre SUSY está justificado, pero lo compruebas teoría por teoría a mano, mirando qué ecuación de movimiento usas, y qué está multiplicando.
La interpretación es que cuando se hace la transformación SUSY, también hay que deslizar un poco los campos de una manera que preserve la medida para terminar la transformación.
