Construir una secuencia de Newton

Question

¿Cómo puedo construir la secuencia de Newton para lo siguiente?

$(1) f(x_1,x_2) = x_1^4 + 2x_1^2x_2^2 + x_2^4$ con $x_0 = (1,1)$ y $x_0 = (1,0)$

$(2) f(t) = t^4 - 32t^2$ y $t_0 = 1$

Para encontrar $x_{k+1}$ ¿necesito usar $\nabla^2f(x_k)(x_{k+1}-x_k) = - \nabla f(x_k)$

Para encontrar el $x_{k+1}$ términos? Si es así, ¿cómo podría resolver esa ecuación?

Answer 1

Para la primera pregunta, se nos da un $f(x_1, x_2)$ y se le pide que encuentre el mínimo mediante el método de Newton con puntos de partida $X_0 = (x_1, x_2) = (1, 1)$ y $x_0 = (1, 0)$ como:

$$\tag 1 f(x_1, x_2) = x_1^4 + 2x_1^2x_2^2 + x_2^4$$

El método de Newton puede extenderse para la minimización de funciones multivariables.

La iteración viene dada por:

$$X_{n+1} = X_n - [J_n]^{-1} \nabla f_n$$

donde: $$ \nabla f(x_1,x_2) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial f}{\partial x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 x_1^3 + 4 x_1 x_2^2 \\ 4 x_1^2 x_2 + 4 x_2^3 \end{bmatrix}$$

$$J(x_1,x_2) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 x_1^2 + 4 x_2^2 & 8 x_1 x_2 \\ 8 x_1 x_2 & 4 x_1^2 + 12 x_2^2 \end{bmatrix}$$

Los iterados son:

• $X_0 = \begin{bmatrix} 1.0 \\ 1.0 \end{bmatrix}$
• $X_1 = \begin{bmatrix} 0.666667 \\ 0.666667 \end{bmatrix}$
• $X_2 = \begin{bmatrix} 0.444445 \\ 0.444445 \end{bmatrix}$
• $X_3 = \begin{bmatrix} 0.296297 \\ 0.296297 \end{bmatrix}$
• $\ldots$
• $X_n = \begin{bmatrix} 0. \\ 0. \end{bmatrix}$

Una parcela muestra:

Usted trata de $X_0 = (1, 0)$ .

Para el segundo problema, podemos utilizar el método de Newton para encontrar el mínimo de una función. Necesitamos derivar una función $h(t)$ que tiene una raíz en el punto donde $f(t)$ alcanza su mínimo.

Escribe la fórmula del método de Newton aplicada a $h(t)$ .

$$h(t) = f'(t) = 4t^3 - 64 t$$

Utiliza el método de Newton para encontrar la raíz (debes verificar lo que obtienes como puntos críticos con $h''(t)$ donde también se puede utilizar el método de Newton):

$$t_{n+1} = t_n - \dfrac{h(t_n)}{h'(t_n)} = t_n - \dfrac{4t_n^3-64t_n}{12t_n^2-64}$$

• $t_0 = 1.0$
• $t_1 = -0.153846$
• $\ldots$
• $t_n = 0$

Una parcela muestra:

Podemos ver que utilizando $t_0 = 1$ encontramos el máximo local. Si hubiéramos elegido un valor inicial mejor, como $t_0 = 5$ o $t_0 = -5$ habríamos aterrizado en cualquiera de esos dos mínimos globales ( $t = \pm 4$ ). Supongo que su problema probablemente se refería al máximo local para esta parte del problema.