Ayuda con la prueba de la raíz.

Question

Estoy tratando de probar el caso,

Dejemos que $\lim\limits_{n \to } \sqrt[n]{|a_n|} = L>1$ entonces la serie $\displaystyle\sum a_n$ es divergente.

Mi intento :

Dejemos que $r$ sea un número tal que $L>r>1$ y como $|a_n|^{1/n} \to L$ como $n \to $ entonces existe un $m \in \mathbb{N}$ tal que para todo $nm, |a_n|^{1/n}>r>1 \Rightarrow |a_n|> r^n$ y $ \displaystyle\sum r^n$ diverge por lo que mediante la prueba de comparación $\displaystyle\sum |a_n|$ diverge.

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $\displaystyle\sum a_n $ ¿diferencia?

Además, si hay algún error en mi prueba, indíquelo. Gracias.

Answer 1

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n > \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_n}$

para un determinado $n>k$ y $\epsilon >0$ pequeño arbitrario

$\sum_{n=k}^{\infty} \sqrt[n]{a_n} >\sum_{n=k}^{\infty} L - \epsilon \geq \sum_{n=k}^{\infty} 1 = \infty $

Answer 2

Supongamos, en aras de la contradicción, que $\sum a_n$ es convergente. Entonces, el límite $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ .

Ahora bien, como $|a_n| > 0$ para todos $n$ entonces la operación $(a_n)^{1/n}$ es continua, por lo que se puede pasar el límite por el $n$ raíz. Así, $\lim_{n \rightarrow \infty} |a_n|^{1/n} = |\lim_{n \rightarrow \infty} a_n |^{1/n} = 0^{1/n} = 0$ . Entonces has llegado a una contradicción.