Dejemos que $f:A\rightarrow A$ sea una función. Podemos definir simplemente $f\circ f$ , $f\circ f\circ f$ etc., para cada número natural dado de forma inductiva.
$f^{(0)}=id_A$
$\forall n\in\omega \qquad f^{(n+1)}=f\circ f^{(n)}$
Cómo definir $f^{(\omega)}$ tal que sea una función de $A$ a $A$ ? ¿Es posible definir $f^{(\alpha)}$ para un número ordinal grande y arbitrario $\alpha$ ?
Sí, y no. Esencialmente, a veces.
Considere la función $f(x)=-x$ para $x\in\Bbb R$ . Entonces, ¿qué $f^{(\omega)}(x)$ ¿ser? Debería ser un límite de $f^{(n)}(x)$ . Pero no hay límite.
O considere la función $f(x)=x+1$ para $x\in\Bbb N$ . Entonces $f^{(\omega)}(0)$ ¿Es qué?
Pero considere la función $f(x)=x+1$ para $x\in\omega_1$ entonces $f^{(\omega)}(x)=x+\omega$ que está perfectamente definida. Pero entonces $f^{(\omega_1)}$ provoca los mismos problemas que antes.
A veces se puede hablar de iteraciones infinitas, pero es necesario tener algún mecanismo para manejar los pasos límite. Esto suele requerir topología, y convergencia. E incluso entonces puede que tengas que acabar cambiando un poco el dominio.
Así que bajo supuestos adicionales (por ejemplo, la función es suryectiva, y hay una manera de asignar valores en los puntos límite), sí. En general, no.
Un caso, relativamente sencillo y general, en el que probablemente puede hacer este tipo de cosas parece estar dado por el Teorema 7.25 de Y. Moschovakis, Notas sobre la teoría de conjuntos (2ª edición, Springer 2006).
Voy a parafrasear un poco el enunciado del teorema, porque por un lado, no utiliza su sugerente $f^{(\alpha)}$ Por otro lado, está redactado en términos definidos anteriormente en el libro.
También he ampliado el enunciado del teorema, porque tal como está, sólo determina (en su notación) $f^{(\alpha)}(\bot)$ para un elemento concreto $\bot$ de un tipo particular de conjunto ordenado, mientras que parece claro que este caso especial se puede generalizar inmediatamente trabajando en un subconjunto del conjunto ordenado.
( ¡Cuidado con lo que se dice! Puede que esté diciendo tonterías, pero si es así, seguro que alguien me corrige).
Dejemos que $P$ sea cualquier conjunto parcialmente ordenado que sea completo en cadena, es decir, todo subconjunto totalmente ordenado $S \subseteq P$ tiene un límite superior mínimo, $\sup S$ .
Dejemos que $f: P \to P$ sea cualquier función que, aunque no necesariamente preserve la relación de orden en $P$ no obstante, es "expansiva" [no sé si este es un término estándar, pero es el que se utiliza en el libro], lo que significa que satisface la condición $f(x) \geqslant x$ para todos $x \in P$ .
Dejemos que $U$ sea cualquier conjunto bien ordenado, por ejemplo un ordinal $\beta$ considerado como el conjunto de todos los ordinales $\alpha < \beta$ .
Entonces hay una definición única de un mapeo expansivo $f^{(\alpha)}: P \to P$ para todos $\alpha \in U$ tal que..: $$ f^{(0)}(x) = x, \\ f^{(\alpha + 1)}(x) = f\big(f^{(\alpha)}(x)\big), \\ f^{(\lambda)}(x) = \sup_{\kappa < \lambda} f^{(\kappa)}(x) $$ donde $x$ es cualquier elemento de $P$ , $\alpha$ es cualquier elemento de $U$ y $\lambda$ es un elemento límite cualquiera de $U$ es decir $\lambda \ne 0$ y para todos $\kappa < \lambda$ existe $\mu$ tal que $\kappa < \mu < \lambda$ .
Además, si $\alpha \leqslant \gamma$ entonces $f^{(\alpha)}(x) \leqslant f^{(\gamma)}(x)$ (generalización de la propiedad "expansiva").
Por último, hay que tener en cuenta que si $V$ es cualquier otro conjunto bien ordenado, entonces $U$ o $V$ es (únicamente) isomorfo a un segmento inicial (no necesariamente propio, por supuesto) de la otra; y si por ejemplo (con el fin de) $\Psi: V \to U$ es una inyección que preserva el orden, entonces $f^{(\delta)} = f^{(\Psi(\delta))}$ para todos $\delta \in V$ por la cláusula de unicidad del teorema.
En particular (el caso más importante, presumiblemente), si ambos $U$ y $V$ son ordinales, entonces uno de ellos es mayor o igual que el otro, y no importa si se considera un ordinal menor $\alpha$ como elemento de $U$ o como elemento de $V$ : $f^{(\alpha)}$ está definida de forma única, para cualquier ordinal $\alpha$ .
Me imagino que uno también tiene: $$ f^{(\alpha + \beta)}(x) = f^{(\beta)}\big(f^{(\alpha)}(x)\big), \\ f^{(\alpha\beta)}(x) = \big(f^{(\alpha)}\big)^{(\beta)}(x), $$ para todos los ordinales $\alpha$ , $\beta$ , todos $x \in P$ y todos los expansivos $f: P \to P$ (pero sólo estoy suponiendo).
También me imagino que esto es bastante parecido a lo que hizo que el viejo Cantor empezara a hablar de los números ordinales.
(Véase, por ejemplo, la introducción de P. E. B. Jourdain a su traducción de Cantor, Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos , reimpresión de Dover, p.35f. - Cantor se interesó por las iteraciones transfinitas de una operación de "conjunto derivado", definida sobre una clase de subconjuntos de la recta real).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
