Grupo de Picard de la variedad analítica

Question

Estoy leyendo la introducción a la geometría compleja de Huybrecht, y estoy atascado. Primero introduce la secuencia de gavillas exponenciales, de modo que tenemos : $H^1(X,Z)\to H^1(X,\mathcal{O}_X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*_X)\to H^2(X,Z)$ .

Luego dice que si $X$ es compacto, entonces el mapa $H^1(X,Z)\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ es inyectiva. ¿Por qué tenemos esto?

Desde $Pic(X)$ es isomorfo a $H^1(X,\mathcal{O}^*_X$ ), dice que la parte discreta de $Pic(X)$ se puede medir por su imagen en $H^2(X,Z)$ y la parte continua proviene del espacio vectorial $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ . Por qué $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ ¿es un espacio vectorial y qué entiende por parte discreta y continua?

Pido disculpas si la pregunta es muy fundamental ya que soy totalmente nuevo en la geometría compleja.

Answer 1

Es importante tener en cuenta toda la secuencia exacta larga. En general, se tiene una \[ A \xflecha derecha{u} B \Nhasta C \xflecha derecha{w} D \] entonces $w$ es inyectiva si $u$ es suryente. Así que en su situación podemos ver el mapa $H^0(X, \mathscr{O}) \to H^0(X, \mathscr{O}^*)$ . Desde $X$ es compacto -y permítanme suponer que conectado- por el principio de máxima este mapa sobre $H^0$ es sólo el viejo exponencial $\mathbf C \to \mathbf C^*$ .

Para el segundo: la cuestión es que cada $\mathscr{O}(U)$ es un espacio vectorial, por lo que todas las $H^p(X, \mathscr{O})$ son también espacios vectoriales. Tal vez esto sea más fácil de creer desde el punto de vista técnico. Suelo pensar en un espacio vectorial como algo continuo: al fin y al cabo, es nuestro modelo local para un colector. Por otro lado, el $H^i(X,\mathbf{Z})$ son grupos abelianos finitamente generados.