Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ satisfacción $xf(y)-yf(x)=f\left( \frac yx\right)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen la siguiente ecuación: $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac yx\right).$$

Mi trabajo hasta el momento

1. Si $x=1$ $f(1)=0$

2. Si $y=1$ $f\left(\frac1x\right)=-f(x)$

3. Si $y=\frac1x$ $f\left(x^2\right)=\left(x+\frac1x\right)f(x)$

Answer 1

Este no puede ser el enfoque más eficiente, pero funciona. Voy a tratar de recortar más tarde.

Ya ha encontrado que $f(x)=-f(\tfrac{1}{x})$, por lo que, a continuación, conectar en $x=-1$ muestra que $f(-1)=0$. La próxima toma de $y=-x$ en la ecuación original rendimientos $$xf(-x)+xf(x)=f(-1)=0,$$ lo que muestra que $f(-x)=-f(x)$ todos los $x\in\Bbb{R}$. De ello se sigue que para todo distinto de cero $x\in\Bbb{R}$ hemos $$f(-\tfrac{1}{x})=f(x).$$ Ahora vamos a $x,y\in\Bbb{R}$ ser distinto de cero. A continuación, escribir la ecuación original para $-\tfrac{1}{x}$ $-\tfrac{1}{y}$ rendimientos $$-\tfrac{1}{x}f(-\tfrac{1}{y})+\tfrac{1}{y}f(-\tfrac{1}{x})=f(\tfrac{x}{y})=-f(\tfrac{y}{x})=-xf(y)+yf(x).$$ Pero en el lado izquierdo podemos usar el hecho de que $f(-\tfrac{1}{x})=f(x)$ para obtener $$-\tfrac{1}{x}f(y)+\tfrac{1}{y}f(x)=-xf(y)+yf(x).$$ Reordenando términos muestra que para todos los distinto de cero $x,y\in\Bbb{R}$ hemos $$(x-\tfrac{1}{x})f(y)=(y-\tfrac{1}{y})f(x),$$ Por otra parte, si $x\neq\pm1$ $x-\tfrac{1}{x}\neq0$ y por lo tanto $$f(y)=(y-\tfrac{1}{y})\cdot\frac{f(x)}{x-\tfrac{1}{x}}.$$ Esto es para todos los $x,y\in\Bbb{R}-\{-1,0,1\}$. Esto significa que en la $\Bbb{R}-\{-1,0,1\}$ la expresión $$\frac{f(x)}{x-\tfrac{1}{x}},$$ es una constante. En otras palabras, en $\Bbb{R}-\{-1,0,1\}$ hemos $$f(x)=c(x-\tfrac{1}{x}),$$ para algunas constantes $c\in\Bbb{R}$. Esto se extiende a $\Bbb{R}-\{0\}$ como ya hemos encontrado que $f(1)=f(-1)=0$. Porque también se $f(0)=0$, cada función de $f$ es (para algunos $c\in\Bbb{R}$) de la forma $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&\text{ if }x=0\\c(x+\tfrac{1}{x})&\text{ otherwise }\end{array}\right.$$

Answer 2

$$xf(x) yf(x)=f\left( \frac yx\right) \\ \iff xf(y)-f(\frac{y}{x}) yf(x) = 0 \etiqueta{1}$$

Sustituto $x \to y/x$, $y \to y$:

$$\frac{y}{x}f(y) - yf( \frac{y}{x}) = f(x) \\ \ffi \frac{y}{x}f(y) - yf( \frac{y}{x})-f(x) = 0 \etiqueta{2}$$

Considere la posibilidad de $(2)-(1)\times y$:

$$(\frac{y}{x}-xy)f(y)+(y^2-1)f(x)=0 \tag{3}$$

Deje $y = 0$, Como M. Vinay dijo, $f(0) = 0$

$0\times f(0) + (0-1)f(x)=0 \implies f(x) = 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$

EDIT: Mi valor de configuración es incorrecta(es decir, después de formular (3) , todo lo que hice está mal ) así que quiero establecer en el derecho.

Set $y = 0.5$ en (3), $$(\frac{1}{2x}-\frac{x}{2}) f(1/2) - 3/4 f(x) = 0 \\ \iff f(x) =(\frac{2}{3x}-\frac{2x}{3}) f(1/2) $$

Más precisamente, $ f(x) = \frac{2}{3} f(1/2) \times(\frac{1}{x}-x)$

Deje $\frac{2}{3} f(1/2) = c$ $ f(x) = c(\frac{1}{x}-x)$

Desde entonces, c es una constante arbitraria, incluye mi solución especial $f(x) = 0$.