Construir un isomorfismo simple a partir de $\mathbb{R^{2n}}$ a $\mathbb{C^n}$

Question

Necesito construir un isomorfismo a partir de $\mathbb{R^{2n}}$ en $\mathbb{C^n}$ (ambos sobre $\mathbb{R}$ ). Sé un par de cosas:

1. Este isomorfismo será un mapa lineal (biyectivo) entre dos espacios vectoriales que tienen dimensiones iguales.
2. El mapa lineal está determinado unívocamente por la acción sobre las bases.

Así que especifico las bases para ambos espacios, digamos que $\{r_1,\dots,r_{2n}\}$ sea una base para $\mathbb{R^{2n}}$ y $\{c_1,\dots,c_{2n}\}$ sea una base para $\mathbb{C^n}$ , donde \begin{align*} r_1&=(1,0,0,\dots,0),\\ r_2&=(0,1,0,\dots,0),\ldots,\\ c_1&=(1,0,0,\dots,0),\\ c_2&=(i,0,0,\dots,0),\\ c_3&=(0,1,0,\dots,0),\\ c_4&=(0,i,0,\dots,0),\ldots. \end{align*}

Entonces dejemos que la transformación esté definida por $r_i\mapsto c_i$ .

Podría demostrar que es lineal, pero me preguntaba si eso basta para resolver el problema, o no.

Gracias.

Answer 1

Sí, eso es todo.

Ni siquiera es necesario demostrar la linealidad, ya que cualquier mapeo definido en una base se extiende de forma única a un mapeo lineal, y tal es un isomorfismo si la imagen de la (o cualquier) base es de nuevo una base en el espacio objetivo.

Sin embargo, si quieres, puedes escribirlo explícitamente como $$(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_n,b_n)\mapsto (a_1+ib_1,\,a_2+ib_2,\dots,\,a_n+ib_n)\,.$$