Ejemplo de un ideal de intersección localmente completo

Question

Dejemos que $(R,\mathfrak m)$ sea un anillo local noetheriano.

Definición : $I$ se llama intersección localmente completa ideal si $I_p$ es una intersección completa para todos los $p\in V(I)$ .

Quiero un ejemplo de un ideal $I$ que satisface las tres propiedades siguientes:

1) grado $(I)\geq 1$ ,

2) $I$ ideal de intersección localmente completa pero no un $\mathfrak m$ -primario y de intersección completa ideal,

3) $I$ no es integralmente cerrado.

Cualquier sugerencia o referencia será de gran ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Deja , $R=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x,y,z,w]/(x^4+y^3+z^4)$ . Entonces, $y\in (x,z)^F\subseteq (x,z)^*\subseteq \overline{(x,z)}$ y de ahí $(x,z)$ no es integralmente cerrado, sin embargo $x,z$ es una secuencia regular porque $R$ es una intersección completa y $x,z,w$ es un sistema de parámetros para $R$ .