Producto del conjunto Borel y no Borel

Question

¿Es cierto que el producto de conjuntos Borel y no Borel es un conjunto no Borel? Más concretamente, me gustaría saber si $V $ × $ \{1\}$ es Borel, donde $V$ es el conjunto Vitali.

Answer 1

Es bien sabido que para un conjunto de Borel $M \subset \Bbb{R}^n \times \Bbb{R}^m$ las "secciones"

$$ M_x =\{y\in \Bbb{R}^m \mid (x,y)\in M\},\\ M^y =\{x\in \Bbb{R}^n\mid (x,y)\in M\} $$ son medibles en Borel para todo $x\in \Bbb{R}^n,y\in \Bbb{R}^m$ . Para ver esto, demuestre que la clase de todos estos conjuntos forma un álgebra sigma que contiene los conjuntos abiertos.

Utilizando esta propiedad, es fácil ver que si $M,N$ son no vacío y si $M\times N$ es Borel, entonces también lo es $M,N$ .