De una red de la versión de convergencia dominada?

Question

Deje $G$ ser localmente compacto Hausdorff Abelian topológico grupo. Deje $\mu$ ser una medida de Haar en $G$, es decir, regular la traducción invariante de la medida. Deje $f$ se fija en $\mathcal{L}^1(G, \mu)$. Definir la función de $G$ $\mathcal{L}^1(G)$que asigna a cada una de las $y$ $G$ la función que toma $x$$G$$f(xy^{-1})$. I. e. se asigna el $y$-traducir de $f$. Esta es una función continua de la $y$ a $\mathcal{L}^1$?

En la p.94 3.10 de estas notas se afirma que es. La prueba usual de este tipo de cosas en los casos donde $G=\mathbb{R}$, dicen, es que el uso de la densidad del compacto admite funciones continuas, y, a continuación, dominado por la convergencia. El ex sobrevive, pero dominado convergencia no funciona en las redes. De hecho, un límite de una red de funciones medibles no necesita ser medibles.

Answer 1

Simplemente no hay ninguna versión de la convergencia dominada que tiene para las redes, incluso si no todas las funciones son continuas y de forma compacta compatible.

He aquí una advertencia ejemplo en la unidad de intervalo que usted puede modificar para inventar todo tipo de contraejemplos:

Deje $\Lambda$ el conjunto de los subconjuntos finitos de $[0,1]$ ordenado por inclusión. Para cada una de las $\lambda \in \Lambda$ elija una función continua $f_{\lambda}: [0,1] \to [0,1]$ tal que $f_{\lambda}(x) = 1$ todos los $x \in \lambda$$\int f_{\lambda} \leq \frac{1}{2}$. A continuación, $f_{\lambda} \to 1$ todas partes en $[0,1]$, mientras que $\frac{1}{2} \leq \int (1 - f_{\lambda}) \nrightarrow 0$...

En particular, el posible fracaso de) la cuantificación del límite no es realmente el problema.

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Dicho esto, pruebe el siguiente método en lugar de (como se sugiere por KCd):

1. Mostrar que para $g \in C_c(G)$ el mapa de $y \mapsto g_y$ (donde $g_{y}(x) = g(xy^{-1})$) es uniformemente continua como un mapa de $G \to C_c(G)$ donde este último está equipado con el sup-norma. Más precisamente: para cada $\varepsilon \gt 0$ hay un barrio $U$ de la identidad tal que $\lVert g_y - g\rVert_{\infty} \lt \varepsilon$ todos los $y \in U$.

2. Si $g \in C_{c}(G)$, entonces existe un conjunto compacto $K$ fuera de la cual $g$ se desvanece. Tomar un simétrica compacto vecindario $K'$ de la identidad. A continuación, $KK'$ es compacto y, por tanto, finito medida de Haar. Aplicar 1. para encontrar un compacto barrio de la identidad con $C \subset K'$ tal que $\lVert g_y - g\rVert_\infty \leq \varepsilon/ \mu(KK')$ todos los $y \in C$. Tenga en cuenta que $g_{y} - g$ se desvanece fuera de $KK'$, de modo que $$ \lVert g_y - g\rVert_1 = \int \lvert g_y - g\rvert \leq \int_{KK'} \lVert g_y - g\rVert_\infty \leq \varepsilon \quad \text{para todo }y \en C. $$

3. Ahora uso ese $C_{c}(G)$ es denso en $L^1(G)$. Dado $\varepsilon \gt 0$ elija $g \in C_c(G)$ tal que $\lVert f-g\rVert_1 \lt \varepsilon$, y tenga en cuenta que la invariancia de medida de Haar da $\lVert f_y - g_y\rVert_1 \lt \varepsilon$. Elija $C$ $g$ $\varepsilon \gt 0$ como en el punto 2.

   Para cada red $y_\lambda \to 1$ $G$ tenemos $y_{\lambda} \in C$ eventualmente, de modo que $$ \lVert f_{y_\lambda} - f\rVert_1 \leq \lVert f_{y_\lambda} - g_{y_\lambda}\rVert_1 + \lVert g_{y_\lambda} - g\rVert_1 + \lVert g-f\rVert \lt 3\varepsilon $$ y llegamos a la conclusión de que $y \mapsto f_y$ es (uniformemente) continuo para todos los $f \in L^1(G)$.

4. Generalizar a$L^p(G)$$1 \leq p \lt \infty$.

5. Añadido: ver que la acción de la $G$ $L^\infty(G) = L^1(G)^\ast$ no es fuertemente continuo, considere la posibilidad de $G = S^1$ y deje $I = [0,t]$ $t$ ser no trivial de intervalo. Entonces la función característica $f$ $I$ tiene la propiedad de que $\lVert gf - f\rVert_\infty = 1$ siempre $g \neq 1$. En particular, para$g_n \to 1 \in G$, no podemos tener $g_n f \to f$. De hecho, es esencialmente la definición de derecho uniforme de la continuidad de la $f$ que $\lVert gf - f\rVert_\infty \to 0$ siempre $g \to 0$$G$.