Encuentra el grado del polinomio

Question

Dejemos que $\alpha,\beta $ sean dos números complejos con $\beta \neq 0$ y $f(z)$ sea una función polinómica sobre $\Bbb C$ tal que $f(z)=\alpha $ siempre que $z^5=\beta $ ¿Qué puede decir sobre el grado de $f(z)$ ?

Mi esfuerzo : No puedo encontrar el número de raíces de $z^5-\beta =0$ .como $\Bbb C$ es algebraicamente cerrado por lo que cualquier polinomio se dividiría y por lo tanto $z^5-\beta=0$ tiene exactamente $5$ raíces contando la multiplicidad.

Así que $f-\alpha $ tiene un grado al menos $5$ si $z^5-\beta =0$ tiene distintos $5$ raíces

¿Es correcto? No puedo dar una respuesta concreta.

Por favor, dé alguna pista.

Answer 1

$z^5 − \beta=0$ tiene exactamente 5 raíces contando la multiplicidad

Si es tenía raíces con multiplicidad $\gt 1$ entonces también serían raíces de su derivada, pero $(z^5 - \beta)' = 5 z^4$ que tiene $0$ como su única raíz, y $0$ es no una raíz de $z^5 - \beta$ desde $\beta \ne 0$ . Por lo tanto, $z^5 - \beta = 0$ debe tener $5$ distintivo raíces.

Así que $f−\alpha$ tiene un grado de al menos 5

Y, como $f(z) = z^5 - \beta + \alpha$ satisface los requisitos, el grado $5$ es el límite inferior real.

Answer 2

Hay exactamente $n$ raíces complejas distintas de la ecuación $z^n-1=0$ . Están dadas por $\cos \frac{2\pi k}n +i\sin \frac{2\pi k}n$ , para $k=0,1,2,\ldots, n-1$ .

Ahora puede utilizar la fórmula de interpolación de Lagrange para construir un polinomio que debe tomar valores específicos en puntos determinados.