Demuestra que si d es un divisor común de a y b, entonces $d=\gcd(a,b)$ si y sólo si $\gcd(a/d,b/d)=1$

Question

Demostrar que si $d$ es un divisor común de dos enteros $a$ y $b$ entonces $d=\gcd(a,b)$ si y sólo si $\gcd(a/d,b/d)=1$ .

Hasta ahora he utilizado lo que se ha dado por lo que tengo $a=dk$ , $b=ld$ y $\gcd(a,b)=d$ puede escribirse como una combinación lineal de $ax+by=d$ pero no estoy seguro de cómo utilizar la información.

¿A dónde voy a partir de aquí? ¿Puede alguien mostrarme cómo resolver esto usando la Identidad de Bezout si es posible?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Por el Ley distributiva de la DGC , y $\ d\mid a,b\iff d\mid (a,b)\ \,$ [gcd Propiedad Universal]

$$\begin{eqnarray} d\,\left(\dfrac{a}d,\dfrac{b}d\right) &\!\!=& (a,b)\\[.4em] \Rightarrow\ \left(\dfrac{a}d,\dfrac{b}d\right) &\!\!=& (a,b)\,/\,d\\[.4em] \!{\rm Thus}\ \ \ 1 = \left(\dfrac{a}d,\dfrac{b}d\right) &\!\!\iff\!& (a,b)\!=\!d\end{eqnarray}$$

Answer 2

Comentario: Dividiendo por d se obtiene la igualdad $1$ Pero hay mucho más que decir. Sí, por definición el menor número entero positivo que se puede expresar mediante una combinación lineal es $1$ lo que implicaría que $1$ es el Gcd, pero una mejor manera creo que es proceder por contradicción.

Así que, lo tienes: $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=1$ , donde $d=\gcd(a,b)$ .

Supongamos que $\gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})$ =e. Demostraremos que $e=1$ .

Aquí: $e|\frac{a}{d},e|\frac{b}{d}\Rightarrow \frac{a}{d}=ex, \frac{b}{d}=ey$ para $x,y \in \mathbb{Z}$

Así: $a=dex,b=dey \Rightarrow$ $de$ es un divisor común de $a,b$ pero $de>d$ lo cual es una contradicción por suposición de $d=\gcd(a,b)$ . Por lo tanto, $e=1$ .