Demuestra que la suma de 2 Bernoulli es binomial

Question

Dejar $X_1,X_2$ sean variables aleatorias Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas con el parámetro p (0, 1).Demuestre que la suma $Y=X_1+X_2$ de estas variables aleatorias es una variable aleatoria binomial con parámetros 2 y p

Answer 1

Si $X_1, X_2$ son dos variables aleatorias iid Bernoulli, entonces su suma es el recuento de éxitos en dos experimentos iid Bernoulli.   Esta es la definición de una variable aleatoria binomial con parámetros $2$ y $p$ .

Eso es todo. $\Box$

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Si necesita demostrar más:

La probabilidad de que haya exactamente $y$ éxito entre estas dos variables se determina midiendo la probabilidad de $y$ éxitos seguidos, seguidos de $2-y$ fallos, y luego multiplicar esto por el recuento de formas distintas de ordenar estos resultados.

Eso es: $$\mathsf P(Y=y) = \underline{\qquad\qquad?}$$

Lo que había que demostrar. $\Box$

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Alternativamente, a partir de los primeros principios, utilizamos la Ley de la Probabilidad Total para demostrar que, cuando dividimos los resultados por la primera variable:

$$\begin{align} \mathsf P(Y=y) &= \mathsf P(X_1=1, X_2=y-1) + \mathsf P(X_1=0, X_2=y) \\[1ex]& = p\cdot \mathsf P(X_2=y-1) + (1-p)\cdot \mathsf P(X_2=y) \\[1ex]& = \begin{cases} \underline\qquad & : y =0 \\ \underline\qquad & : y=1 \\ \underline\qquad & : y=2 \end{cases} \end{align}$$

Lo que había que demostrar. $\Box$

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Rellene los espacios en blanco si es necesario. Pero en realidad, no es necesario pasar de la primera lápida.

Answer 2

El rango de la variable aleatoria debe ser $\{0,1,2\}$ . Tienes que demostrar que las probabilidades de los tres valores es la misma. Así que sólo hay que calcular las tres probabilidades de una binomial con parámetros $2$ y $p$ y hacer lo mismo para la suma de dos ensayos Bernoulli con parámetro $p$ y verás que las tres probabilidades son las mismas en ambos casos. Así que son la misma variable aleatoria.