espacio conectado

Question

Para esta pregunta hay algo en mi mente pero no pude traerlos una pieza que da la solución. Probablemente estoy pasando por alto algo, pero no sé lo que es. puede usted por favor compartir su idea o respuesta...

(X,T) es un espacio topológico. A y B son subespacios conexos de X. Demostrar que si la intersección de los cierres A y B son no vacíos. Entonces la unión de A y B también es conexa.

Answer 1

SUGERENCIA: Supongamos que $U$ y $V$ son una separación de $A\cup B$ : $U$ y $V$ son subconjuntos cerrados no vacíos de $A\cup B$ , $U\cup V=A\cup B$ y $U\cap V=\varnothing$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $A\cap U\ne\varnothing$ . Utiliza la conectividad de $A$ y $B$ para demostrar que $A=U$ y $B=V$ y llegar a la contradicción de que $$(\operatorname{cl}A)\cap B=(\operatorname{cl}U)\cap V=\varnothing\;.$$