(Soy un matemático aficionado y no un experto - sólo estoy respondiendo a preguntas de matemáticas por diversión en mi tiempo libre. Sería bueno si uno puede proporcionar retroalimentación si cualquier error o errores están presentes - que sería útil).
Pregunta: Demuestre que no existe ninguna función positiva y continua $f$ .
Ya que estamos tratando de demostrar que no hay no existen tales $f$ En este caso, es mucho más fácil demostrar tales afirmaciones utilizando un truco lógico, que consiste en demostrar su contrapositivo.
Para una afirmación lógica Si (Set) A $\Rightarrow$ Entonces (Set) B entonces su contrapositivo, que significa lo mismo, es simplemente Si no es (Set) B $\Rightarrow$ Entonces Not (Set) A . Por ejemplo, Si existe (conjunto) de lluvias $\Rightarrow$ Entonces traiga (set) paraguas . Entonces su contrapositivo, que significa lo mismo, será Si no lleva paraguas (set) $\Rightarrow$ Entonces no existe (Set) Lluvia .
Hacer pruebas utilizando el contrapositivo es mucho más fácil para no existen pruebas porque requiere encontrar no $=$ sí las funciones que existen, lo cual es mucho más fácil que encontrar funciones que sí no existe.
Así que aquí, el contrapositivo sería:
Demostrar que existe una función positiva y continua $f$ en $(0, \infty)$ tal que $$f(x + y) \lt yg(f(x)), \,x \le 0, \,y \le 0$$
Prueba:
- Integra la ecuación en ambos lados de [1, $\infty$ ]
$$\int_{1}^{\infty} f(x+y) \,ds \le \int_{1}^{\infty} yg(f(x)) \,ds$$ donde, $s = f(x)$
- Reexpresamos 1) en relación con $s = f(x)$ .
$$\int_{1}^{\infty} f(x+y) \,ds \le \int_{1}^{\infty} yg(s) \,ds$$
- Sabemos por simple inspección de ejemplos (?? no estoy seguro de que esto sea cierto busco opiniones? ),
$$\int f(x+y) \,ds = \int [f(x)/x \times f(x+y)] \,ds$$
Por lo tanto,
$$\int_{1}^{\infty} [f(x)/x \times f(x+y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} yg(s) \,ds$$
- Desde $y$ es negativo, suponemos que $g(s)$ que sea negativo para establecer una función positiva muy floja limitada a la parte más a la derecha del rango porque sólo estamos tratando de probar la existencia y no tratando de encontrar límites exactos (??buscando opiniones?) . Porque $y$ es negativo y $g(s)$ es negativo, lo que hace que $ yg(y) $ positivo, podemos demostrar que
$$\int_{1}^{\infty} yg(s) \,ds \gt \int_{1}^{\infty} g(s) \,ds$$
- Por lo tanto, podemos acercarnos y acotar la desigualdad desde el lado derecho utilizando lo anterior (por ejemplo, si 3 < 5, y sabemos que 10 > 5 como arriba, entonces podemos escribir 3 < 10)
$$\int_{1}^{\infty} [f(x)/x \times f(x+y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} g(s) \,ds$$
- Como sabemos que $f(x+y) \le f(x) \times f(y)$ ,
ahora podemos romper $f(x+y)$ en cada uno de los $f(x)$ para probar alguna afirmación sobre $f(x)$
$$\int_{1}^{\infty} [f(x)/x \times f(x+y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} g(s) \,ds$$
$$\int_{1}^{\infty} [f(x)/x \times (f(x) \times f(y))] \,ds \le \int_{1}^{\infty} g(s) \,ds$$
$$\int_{1}^{\infty} [(f(x)^2)/x \times f(y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} g(s) \,ds$$
- Y como también sabemos que $$\int_{1}^{\infty} g(s) \, ds \gt \int_{1}^{\infty} \frac{ds}{g(s)} $$ .
- Podemos, de nuevo, acercarnos y acotar la desigualdad desde el lado derecho utilizando lo anterior
$$\int_{1}^{\infty} [(f(x)^2)/x \times f(y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} g(s) \,ds$$
$$\int_{1}^{\infty} [(f(x)^2)/x \times f(y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} \frac{ds}{g(s)} $$
- Ya que como se ha indicado anteriormente,
$$\int_{1}^{\infty} \frac{ds}{g(s)} < \infty$$
- Podemos demostrar que
$$\int_{1}^{\infty} [(f(x)^2)/x \times f(y)] \,ds \le \int_{1}^{\infty} \frac{ds}{g(s)} $$
$$\int_{1}^{\infty} [(f(x)^2)/x \times f(y)] \,ds \lt {\infty} $$
- (??después de lo cual, no estoy seguro de cómo enfocar... pero finalmente debería mostrar la siguiente forma??) :
$$0 \lt \int_{1}^{\infty} [f(x)^2] \,ds \lt {\infty} $$
que muestra y demuestra que existe una función positiva y continua $f$ en $(0, \infty)$
