Deja que $R$ sea un anillo conmutativo, y $I \subset R$ un ideal. Si elegimos un elemento $x \in R$ podemos considerar $(R/I)_x$ y $R_x/I_x$. En general, ¿la localización conmuta con el cociente?, es decir, $(R/I)_x \simeq R_x/I_x$? Si no... ¿hay hipótesis sobre $x$, $R$ o $I$ bajo qué localización conmuta con el cociente?
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Xetius
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En general, si $$0\to M\to N\to P\to0$$ is a short exact sequence of $R$-modules and $S$ is a multiplicative set in $R$, the localized sequence $$0\to M_S\to N_S\to P_S\to0$$ también es exacto.
Si $I\subseteq R$ es un ideal, tenemos una secuencia exacta corta $$0\to I\to R\to R/I\to0$$ of $R$-modules, and therefore for $x\en R$ we get that $$0\to I_x\to R_x\to (R/I)_x\to0$$ is also exact. This means, among other things, that $(R/I)_x$ is isomorphic to $R_x/I_x$.
Este isomorfismo es como un módulo $R$, y probablemente quieras que sea como anillos: eso es un poco de trabajo extra: el mapa anterior, que acabamos de observar que es una biyección, es en realidad un mapa de anillos - comprobar esto es simplemente una cuestión de escribir lo que significa.
