¿Es el ideal generado por un primo polinómico irreductible?

Question

$R$ es un anillo conmutativo. $p(x)$ es un polinomio irreductible de $R[x]$. ¿El $(p(x))$ ideal es generado por $p(x)$ en $R[x]$ prime?

Si no es así, ¿en qué condiciones de $R$ es $(p(x))$ primo? ¿Qué tal "Máximo"?

Answer 1

Esto es en general falso. Toma $R$ como cualquier anillo conmutativo que no sea un dominio integral (por ejemplo, $\mathbb Z \times \mathbb Z$). Entonces $R[x] / (x) \cong R$ que no es un dominio integral, así que $(x)$ no puede ser primo, pero $x$ es ciertamente irreductible en $R[x]$.