El determinante de la matriz adjugada

Question

Tengo la siguiente prueba de que me gustaría que me recorrieran porque no estoy viendo intuitivamente qué hacer:

Si $A$ es $n\times n$, pruebe $\det\left(\operatorname{adj}(A)\right) = \det(A)^{n-1}$.

Sé que la propiedad de $A\operatorname{adj}(A) = \det(A)I$ es importante, pero no sé cómo aplicarla para obtener una respuesta. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias,

Answer 1

A(adj A) = |A|(I)

|A(adj A)| = |(|A| I)|

|A| |adj A| = $|A|^n * |I|$

|A| |adj A| = $|A|^n $

caso 1: if |A|$\neq0$

Luego obtenemos ,|adj A| = $|A|^{n-1} $

caso 2: if |A|$=0$

Luego,|adj A|$=0$

Y, nuevamente obtenemos |adj A| = $|A|^{n-1} $

Answer 2

Tenemos la relación $$A \operatorname{Adj}(A)=\det(A)I $$ Ahora tomar determinante en ambos lados obtenemos, $$\det(A)\det(\operatorname{Adj}(A))=\det(\det(A)I) \tag1$$ utilizar la relación que, para una matriz $A$ que es $n \times n$,

$$\det(kA)=k^n (\det(A))$$ donde k es una constante numérica. Por lo tanto, tenemos

$$\det(\det(A)I)=\det(A)^n \det (I)=\det(A)^n \tag2$$ y de las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ se desprende que $$\det(A)\det(\operatorname{Adj}(A))=\det(A)^n ,$$ lo que implica $$\det(\operatorname{Adj}(A)) = \det(A)^{n-1} .$$

Answer 3

[Caso I] det (Adj(A))=0

[Caso II] det (Adj(A)) = no cero, por lo que Adj(A) es invertible.

Let (Adj(A))^{-1} =B. De A Adj(A)=det(A)I, A Adj(A) B= det(A)I B.

Así que A = B det(A)I.

Supongamos que det(A)=0. Entonces A = 0. Entonces Adj A =0 implica det (Adj A)=0, una contradicción.

Por lo tanto det (A) = no cero. Ahora tenemos det (Adj(A))=det (A)^{n-1}.