Cierre del interior del conjunto cerrado

Question

Si $D$ es un conjunto cerrado, ¿cuál es la relación general entre el conjunto $D$ y el cierre de $\operatorname{Int}D$?

Sabemos que $\operatorname{Int}D\subseteq D$, así que $\overline{\operatorname{Int}D}\subseteq \overline{D}$, pero como $D$ está cerrado, tenemos $\overline{D}=D$, por lo que $\overline{\operatorname{Int}D}\subseteq D$.

Ahora, ¿es cierto también que $D\subseteq \overline{\operatorname{Int}D}$? Parece que no puedo probarlo, o dar un ejemplo de $D$ tal que esto no se mantenga.

Answer 1

Sugerencia: Para un contraejemplo, trate de pensar en un conjunto cerrado no vacío con interior vacío.

Answer 2

En general, la otra inclusión no se mantiene. Por ejemplo, si $D = \{0\}$ es el conjunto que contiene el único punto 0, entonces su interior está vacío. Hay muchos conjuntos cerrados con esta propiedad, como conjuntos finitos y conjuntos de Cantor.

Answer 3

En general,

$\overline{\operatorname{Int}D}\subseteq D$.

Si $X$ es un espacio métrico discreto y $D := X$,

$\overline{\operatorname{Int}D} = D$.

En el caso $X = \mathbb{R}^2$,
deje $D := \{(0, 0)\}$.

Entonces,

$\overline{\operatorname{Int}D} \subseteq D$ pero $\overline{\operatorname{Int}D} \neq D$.