¿Es posible que el valor de estas series sea $0$ ?

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^n}{n^x}\cos{\left ( y\ln{n} \right )}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^n}{n^x}\sin{\left ( y\ln{n} \right )}$$

$x$ y $y$ son números reales arbitrarios, y $x>0$ .

Pregunta. ¿Es posible que el valor de estas series sea $0$ ?

Answer 1

Para resolver esta cuestión:

Las dos series de la pregunta son, respectivamente, las partes real e imaginaria de $-\eta(x-iy)$ , donde $\eta(s)$ es el Dirichlet $\eta$ función . Por lo tanto, para los verdaderos $x$ y $y$ , si $x+iy$ es un cero no trivial (recordemos que la serie converge sólo para $x > 0$ ) de la Riemann $\zeta$ ambas series serán cero. Además, como $\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ , $x=1$ y $y=\frac{2\pi i k}{\ln\,2}$ con $k$ un número entero no nulo también serían ceros. Para el Dirichlet continuado analíticamente $\eta$ los ceros "triviales" de Riemann $\zeta$ también serán ceros de Dirichlet $\eta$ .