Denota, por $$ H^2= \left\{f\in L^2(\mathbb{T}): n\in\mathbb{N} \rightarrow \int \limits_{\mathbb{T}} f(z)z^nd\mu(z)=0 \right\} $$ $$ \Vert f\Vert_{2,\rho}=\left(\frac{1}{2\pi}\int\limits_{[-\pi,\pi]}|f(\rho e^{it})|^2d\mu(t)\right)^{1/2}$$ $$ A^2=\{f\in\mathcal{O}(\mathbb{D}):\lim\limits_{\rho\to 1-0}\Vert f\Vert_{2,\rho}<\infty\} $$ donde $\mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C}: |z|=1\}$ , $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}: |z|<1\}$ . Por favor, dígame cómo construir la biyección entre $H^2$ y $A^2$ .
Respuesta
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Esto es algo que se trata a menudo en los cursos de análisis armónico, como el capítulo 3 del libro de Katznelson. Si $f(z) \in A^2(D)$ entonces $f^*(e^{it}) = \lim_{r \rightarrow 1} f(re^{it})$ está en $H^2(T)$ y puedes recuperar $f(z)$ de $f^*(e^{it})$ mediante la integral de Poisson ${\displaystyle f(z) = {1 \over 2\pi}\int_0^{2\pi}\operatorname{Re}\left({e^{it} + z \over e^{it} - z}\right)f^*(e^{it})\,dt}$ .
