Demuestre la convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n$

Question

Como se indica en el aviso, estoy buscando mostrar la convergencia de la serie $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n$$ He intentado utilizar la prueba de razón, de raíz y de comparación de límites (con una serie geométrica), y todas me han dado respuestas no concluyentes. Si alguien tiene alguna idea de cómo podría demostrar que esta serie converge, su ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

De hecho , si $|x|\le\tfrac14$ entonces $\sum_{n\ge0}\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}x^n=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ por lo que la suma dada es $1$ .

Answer 2

Una posible solución utilizando Prueba de Raabe $$n\cdot\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} -1\right) = n\cdot\frac{6n +6}{(2n+1)(2n+2)}\to \frac{3}{2}>1$$