Cálculo multivariable: Integral de línea

Question

Tengo un problema matemático. Dice:

Calcular la integral de línea dada $\oint _c {M dx+Ndy}$ donde $C$ es el triángulo con vértices $P_0=(0, 1)$ , $P_1=(2, 1)$ , $P_2=(3, 4)$ con rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.

Este es el problema: $\oint _c {x dx+ dy}$

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No estoy seguro de lo que significa la "rotación en sentido contrario a las agujas del reloj". Supongo que tengo que empezar por encontrar 3 integrales de línea diferentes. Así que encuentro tres líneas paramétricas...

$\vec{P_0} + \vec{P_0P_1}t=<0, 1> + <2t, 0> = <2t, 1>$

$\vec{P_1} + \vec{P_1P_2}t=<2, 1> + <t, 3t> = <2+t, 1+3t>$

$\vec{P_2} + \vec{P_2P_0}t=<3, 4> + <-3t, -3t> = <3-3t, 4-3t>$

Eso es más o menos lo que conseguí. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sin apelar al Teorema de Green procedemos.

Ya que se trata de una integral de trayectoria cerrada,

$$\oint_C (xdy+dy) =\left(\frac12 x^2 +y\right)|_{P_i}^{P_i}=0$$

donde $P_i$ es cualquier punto de partida del camino.

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Ahora mostremos esto explícitamente evaluando cada contribución de la integral de línea.

Primer segmento:

Comienza en $P_0$ y terminan en $P_1$ . Parametrice la curva como $x=t$ , $y=1$ con $0\le t\le 2$ . Entonces, $dx=dt$ y $dy=0$ . Así, tenemos

$$\int_{C_{1}} (xdx+dy) = \int_0^2 tdt = 2$$

Segundo segmento:

Comienza en $P_1$ y terminan en $P_2$ . Parametrice la curva como $x=t+2$ , $y=3t+1$ con $0\le t\le 1$ . Entonces, $dx=dt$ y $dy=3dt$ . Así, tenemos

$$\int_{C_{2}} (xdx+dy) = \int_0^1 ((t+2)+3)dt = 11/2$$

Tercer segmento:

Comienza en $P_2$ y terminan en $P_3$ . Parametrice la curva como $x=3-3t$ , $y=4-3t$ con $0\le t\le 1$ . Entonces, $dx=-3dt$ y $dy=-3dt$ . Así, tenemos

$$\int_{C_{3}} (xdx+dy) = \int_0^1 (3-3t+1)(-3)dt = -15/2$$

Así, la suma de las contribuciones revela que

$$\oint_C (xdx+dy) = 2+11/2-15/2=0$$

¡como se esperaba!

Answer 2

Creo que "rotación en sentido contrario a las agujas del reloj" sólo significa hacer la integral de la línea empezando por el punto 1, yendo en el orden que te llevaría en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del triángulo. Así que creo que lo que estás haciendo es correcto

Answer 3

Por el Teorema de Green, $$\int_{C} x\,dx+1\,dy=\iint_{T}\left(\frac{\partial 1}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}\right)d A=\iint_T 0\,dA=0.$$

Answer 4

Observe que su campo es conservador ya que $\;\dfrac{\partial P}{\partial y}=0=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\;$ con $\;P=x\;,\;\;Q=1\;$ y, por lo tanto, la integral es igual a cero en cualquier camino cerrado simple y "bonito".

También puede observar que

$$\;(x,1)=\nabla\left(\frac12x^2\,,\,y\right)$$