Uno de mis primeros $\delta$ - $\epsilon$ pruebas, pero no siento que vaya en la dirección correcta. Quiero probarlo:
$$ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x} = 2 $$
Por la definición de límite, Para cada $\epsilon > 0$ Debo encontrar un $\delta$ , tal que para cada $x \in \operatorname{Dom}(f)$ :
$$ \left| x - \frac{1}{2}\! \right| < \delta \Rightarrow \left|\! \frac{1}{x} - 2\right| < \epsilon $$
Supongo que $f(x) = \frac{1}{x}$ es una función $f : \mathbb{R}\backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ya que $\frac{1}{x}$ es un recíproco.
Ahora, $$ \begin{align} \left|\!\frac{1}{x} - 2\right| &= \left|\!\frac{1}{x} - 2\right|\\ &= \frac{|1-2x|}{|x|} \\ &= \frac{|\!\frac{1}{2}-x|}{2|x|} \end{align} $$
Desde $|x-y| = |y-x|$ y por lo tanto,
$$ < \frac{\delta}{2|x|} \\ $$
Reconozco que tengo que tomar $\delta<\frac{1}{2}$ para evitar la división por cero. Pero encontrar una estimación en términos de $\delta$ para $\frac{1}{2|x|}$ parece difícil. Mi intento:
$$ 2|x| = 2\left(x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) < 2\left|x-\frac{1}{2}\!\right|+1 = 2\delta+1 $$
Concluyendo, $$ \left|\!\frac{1}{x} - 2\right| < \frac{\delta}{2\delta+1} < \epsilon $$ Y por lo tanto, $$ \delta < \min\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\frac{1}{\epsilon} - 2}\right) $$
¿Esta prueba conceptual es correcta? Tengo la sensación de que me falta algo.
