Supongamos que existe algún $\vec{b}$ tal que $A\vec{x} = \vec{b}$ es irresoluble. ¿Existe un $\vec{z}$ tal que $A\vec{x} = \vec{z}$ ?

Question

El problema. Supongamos que $A$ es un cuadrado no nulo $n\times n$ matriz, tal que existe algún vector columna $\vec{b}$ tal que $A\vec{x} = \vec{b}$ no tiene soluciones. ¿Existe alguna $\vec{z} \neq \vec{0}$ tal que $A\vec{x} = \vec{z}$ tiene una solución? Si es así, ¿cuántas soluciones existen? ¿Las columnas de $A$ ¿independiente o dependiente linealmente?

Aunque tengo claro que $span(A) \neq \mathbb{R}^n$ (y por tanto las columnas de $A$ son lineales depdendiente ), no me queda claro si existe algún tipo de $\vec{z}$ tal que $A\vec{x} = \vec{z}$ es solucionable.

Sé que $A\vec{x} = \vec{0}$ debe tener algo más que la solución trivial. También sé que $\text{RREF}(A)$ debe tener menos de $n$ pivotes (es decir, al menos una variable libre). Sin embargo, en general, ¿no se da el caso de que un sistema de este tipo puede no tener ninguna o infinitas soluciones para un $\vec{z}$ ? ¿Cómo sabemos que un $\vec{z}$ con una solución (que debe, por tanto, tener infinitamente muchas soluciones) existe?

Answer 1

Dado $A$ y $\vec{z}$ entonces existe un $\vec{x}$ tal que

$$A\vec{x} = \vec{z},$$

si $\vec{z} \in \text{Im}(A)$ ,

donde $\text{Im}(A)$ es el subespacio abarcado por las columnas de $A$ .

En su ejemplo, $\vec{b} \not\in \text{Im}(A)$ . En consecuencia, como bien has dicho, al existir un vector $\vec{b}$ que no es miembro de $\text{Im}(A)$ entonces seguro que $\text{Im}(A)$ no es igual a $\mathbb{R}^n$ o, de forma equivalente, el rango de $A$ es menor que $n$ o $\det(A) = 0$ o $A$ tiene al menos un valor propio cero.

...O, las columnas de $A$ no son linealmente independientes.

Si $m < n$ es la dimensión de $\text{Im}(A)$ es decir $\text{rank}(A) = m$ entonces hay $\infty^{n-m}$ soluciones para el problema $A\vec{x} = \vec{z}$ .

Explicación

Si $\vec{z} \in \text{Im}(A)$ entonces existen números reales $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , no todos nulos, tal que:

$$\vec{z} = x_1 \text{col}_1(A) + x_2 \text{col}_2(A) + \ldots.$$

Pero

$$x_1 \text{col}_1(A) + x_2 \text{col}_2(A) = A \vec{x},$$

dado que $\vec{x} = [x_1, x_2, \ldots]^\top$ y por lo tanto

$$A \vec{x} = \vec{z}.$$

Answer 2

Desde $A\ne0$ Hay un poco de $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ de manera que el $i$ th no es nula. Sea $\vec z$ sea el vector cuyas coordenadas son las entradas de esa columna. Entonces $A\cdot(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ con el $1$ en el $i$ th es igual a $\vec z$ . Por supuesto, si $\lambda$ es un escalar, entonces, $$A\cdot(0,0,\ldots,0,\lambda,0,\ldots,0)=\lambda\vec z,$$ y por lo tanto hay infinitas soluciones.

Answer 3

Sí, por ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix}1&2 \\ 2 & 4\end{bmatrix} \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad \vec{z} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$$

Podrás responder a todas tus preguntas si estudias un poco más de álgebra lineal. En definitiva, aprenderás a visualizar las columnas de una matriz con vectores en $n$ dimensiones (donde $n$ es el número de filas de la matriz). El teorema más relevante es el Teorema de nulidad de rango que establece que

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Donde el $\text{rank}(A)$ de la matriz es la dimensionalidad del espacio que abarcan sus columnas (o filas), y la $\text{nullity}(A)$ es la dimensionalidad del espacio que abarcan las posibles soluciones de $x$ vectores a $Ax = 0$ .