Así es como probaría el 8.5.13.
Dejemos que $\le$ sea una relación binaria reflexiva transitiva sobre $X,$ y $x_0\in X.$ Como siempre $x<x'$ significa $x'\ne x\le x'.$ También supondremos que $\forall x,x'\in X\, (x\le x'\le x\implies x=x')$ (Tales $\le$ se denominan estrictos) por las razones expuestas en mi comentario final.
Dejemos que $W$ sea el conjunto de subconjuntos de $X$ que están bien ordenados por $<$ y tienen $x_0$ como su menor miembro. Tenemos $\{x_0\} \in W,$ así que $W$ no está vacío. Introducimos una relación binaria $<^*$ en $W$ ,
donde $w<^*w'$ si $$(i). w\subsetneqq w'$$ $$(ii). \forall x\in w \, \forall x'\in (w'\setminus w)\,(x<x').$$
Demostramos que existe un $<^*$ -máximo $Y\in W.$
A partir de ahí, si $x'\in X$ es un $\le$ -límite superior para $Y$ y $x'\not \in Y$ entonces por el rigor de $\le$ tenemos $\forall w\in Y\, (w<x').$ Pero entonces $Y'=Y\cup \{x'\}\in W$ con $Y<^*Y',$ contradiciendo la $<^*$ -maximalidad de $Y$ . Así que $Y$ no tiene un límite superior estricto.
Encontrando $Y$ es por el siguiente, que aquellos familiarizados con la teoría de conjuntos reconocerán como un método común:
Una cadena en $W$ es cualquier $C\subset W$ tal que $$(iii). \forall c,c'\in C\,(c<^*c'\lor c'<^*c\lor c=c').$$
Reclamación: Si $C$ es una cadena no vacía en $W$ entonces $\cup C\in W$ y $\cup C$ es un $<^*$ -límite superior para $C.$
Prueba de la reclamación: Si $x,x'\in \cup C$ entonces para algunos $c,c'\in C$ tenemos $x\in c$ y $x'\in c'.$ Ahora $C$ es un $<^*$ -cadena así $c''=c\cup c'$ es uno de $c,c'$ por (i) y (iii), por lo que $\{x,x'\}\subset c''\in C.$ Y como $c''$ está bien ordenado por $<$ tenemos $(x'<x\lor x<x'\lor x=x').$
$\bullet \;$ Así que (ya que, también, $\le$ es transitivo), $\cup C$ está ordenada linealmente por $<.$
Supongamos ahora que $\emptyset \ne S\subset \cup C.$ Tome $c_0\in C$ tal que $c_0\cap S \ne \emptyset$ y que $$s_0=\min_<(c_0\cap S)$$ que existe porque $c_0$ está bien ordenado por $<.$
Ahora, para cualquier $s\in S,$ tomar $c\in C$ tal que $s\in c.$
Si $c<^*c_0$ o $c=c_0$ entonces $s\in c\subset c_0$ así que $s\in c_0\cap S,$ por lo que por definición de $s_0$ tenemos $(s_0<s\lor s_0=s).$
O si $c_0<^*c$ entonces
$(a).$ Si $s\not \in c_0$ entonces por $(ii)$ tenemos $\forall w\in c_0 \,(w<s ),$ y en particular $s_0\in c_0,$ así que $s_0<s.$
$(b).$ Si $s\in c_0$ entonces $s\in c_0\cap S$ por lo que por definición de $s_0$ tenemos $(s_0<s \lor s_0=s).$ (Similar a un caso anterior).
$\bullet \bullet \;$ Así que $\cup C$ está bien ordenado por $<,$ así que $\cup C \in W.$
Por último, si $c\in C$ y $s\in (\cup C) \setminus c,$ tomar $c'\in C$ con $s\in c'.$ No podemos tener $c'=c$ pero no podemos tener $c'<^* c$ tampoco, si no $s\in c'\subset c.$ Así que $c<^*c'$ y $s\in c'\setminus c,$ así que por $(ii)$ tenemos $\forall w\in c\, (w<s).$ Así que $c<^*\cup C\lor c=\cup C.$
$\bullet \bullet \bullet \;$ Así que $\cup C$ es un $<^*$ -límite superior para $C.$ QED.
Ahora bien, por la afirmación (y puesto que $W$ no es vacía) podemos aplicar el Lemma de Zorn a $(W,<^*)$ y concluir que existe un $<^*$ -máximo $Y\in W.$
Observación. $Y$ no necesita ser $\subset$ -máxima ni única Por ejemplo, si $X=\{x_0,x_2,x_3\}$ con $x_0<x_1<x_2$ entonces $X$ y $\{x_0,x_3\}$ son $<^*$ -incomparable y $<^*$ -máximo
Observación final. Si el poset no se asume como estricto podríamos tener $X=\{x_0,x_1\}$ con $x_0\ne x_1$ y $x_0\le x_1\le x_0.$ Entonces $Y=\{x_0\}$ pero $x_1$ es un $\le$ -límite superior estricto para $Y$ .
